江西省中考数学专题复习 专题五 类比探索型问题备考演练-人教版初中九年级全册数学试题.doc

专题五类比探索型问题备考演练

1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠BCE＝β.
(1)求证：△DAB≌△EAC；
(2)当点D在线段BC上运动时，
①若α＝50°，则β＝__130__度；
②猜想α与β之间的数量关系？并对你的结论给出证明；
(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时，上题②中的结论是否仍然成立？若成立，试加以证明；若不成立，请你给出正确的数量关系，并说明理由．

[解](1)∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE＝α－∠DAC.
又AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE.
(2)②∵△ABD≌△ACE，∠BAC＝α.
∴∠B＝∠ACE.
∴∠B＋∠ACB＝β.
∵∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴α＋β＝180°.
当点D在线段BC的反向延长线上运动时，上题②中的结论不能成立，此时α＝β成立．

其理由如下：
类似(1)可证△DAB≌△EAC，
∴∠DBA＝∠ECA.
又由三角形外角性质有∠DBA＝α＋∠DCA，
∴∠ACE＝α＋∠DCA，
∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝α＋∠ACB－∠ACB＝β.
∴α＝β.
2．如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象过点A(2，0)和B(4，3)，l为过点(0，－2)且与x轴平行的直线，P(m，n)是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
(1)求二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的解析式；
【特例探究】
(2)填空：当m＝0时，OP＝__1__，PH＝__1__；当m＝4时，OP＝__5__，PH＝__5__；
【证明】
(3)对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．

[解](1)∵二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象过点A(2，0)和B(4，3)，
∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b－1＝0，,16a＋4b－1＝3，))
解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝0，))
∴二次函数的解析式为y＝eq\f(1,4)x2－1.
(3)猜想：OP＝PH.
证明：过点P作PQ⊥x轴于Q，
∵P在二次函数y＝eq\f(1,4)x2－1的图象上，
∴设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(1,4)m2－1))，
则PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m2－1))，OQ＝|m|，
∵△OPQ为直角三角形，
∴OP＝eq\r(PQ2＋OQ2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m2－1))\s\up12(2)＋m2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m2＋1))\s\up12(2))＝eq\f(1,4)m2＋1，
PH＝yP－(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m2－1))－(－2)＝eq\f(1,4)m2＋1，
∴OP＝PH.
3．(2016·龙东)已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合)，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
(1)当点P与点O重合时如图1，易证OE＝OF(不需证明)；
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE＝30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

[解](1)∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
在△AEO和△CFO中，
eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEO＝∠CFO，,∠AOE＝∠COF，,AO＝CO，))
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF.
(2)图2中的结论为：CF＝OE＋AE.
图3中的结论为：CF＝OE－AE.
选图2中的结论证明如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
在△EOA和△GOC中，
eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAO＝∠GCO，,AO＝CO，,∠AOE＝∠COG，))
∴△EOA≌△GOC，
∴EO＝GO，AE＝CG，
在Rt△EFG中，∵EO＝OG，
∴OE＝OF＝GO，
∵∠OFE＝30°，
∴∠OFG＝90°－30°＝60°，
∴△OFG是等边三角形，