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第7讲、幂函数

和初中学习的一次函数、反比例函数、二次函数一样，幂函数是高中学习的一个基本函数模型。后面我们还会相继学习指数函数、对数函数。
学习一个新的函数，无外乎从它的定义、图像和性质入手，本讲我们也是按照这个学习
的过程来展开。
【导读】

【知识梳理】
1、幂函数的概念
一般地，函数yxk（k为常数，kQ）叫做幂函数.

2、幂函数的图像
对于幂函数yxkkQ，设kq（pN*、qZ）且p,q互质，图像可概括为：
p

kq
p
k0
0k1
k1

p、q都是奇数

p为奇数

q为偶数

p为偶数

q为奇数

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3、幂函数的性质
性质1：对于幂函数yxkkQ，
当k0时，函数的图像都经过点0,0，1,1，在第一象限内单调递增；当k0时，函数的图像都经过1,1，在第一象限内单调递减。
性质2：对于幂函数yxkkQ，设kqp,qN*且p,q互质，
p

q

（1）当p为奇数，q为偶数时，函数yxp分布在第一、二象限，图像关于y轴对称，是偶函数；
q

（2）当p为奇数，q为奇数时，函数yxp分布在第一、三象限，图像关于原点对称，是奇函数；
q

（3）当p为偶数，q为奇数时，函数yxp分布在第一象限，图像没有对称轴和对称中心，既不是奇函数，又不是偶函数。

考点一：幂函数的定义
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yxk（k是常数）的形式，即满足：
（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．
【例题精讲】

【例题1.1】已知幂函数f(x)的图象过点（2，
1），试求该函数的解析式．
4

【答案】yx2

【解析】设该幂函数的解析式为yxk，k为常数，

将点2,1代入，得12k，解得k2，

 
 4 4

所以幂函数的解析式为yx2
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考点二：幂函数的图象

要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：
（1）当x的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）当x的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第
四象限．
；

【例题2.1】已知函数yxa，yxb，yxc的图象如图所示，则实数a,b,c的大小关系为

（ ）
A．cba
C．bca
【答案】A

B．abc
D．cab

【解析】由幂函数的图像特征知，c0,a0,b0，

由幂函数的性质知，当x1时，指数大的面函数的函数值就大，则ab
综上所述，可知cba.

考点三：幂函数性质的应用

（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；
（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等
式解集等．
【例题3.1】如图，幂函数yx3m7mN的图象关于y轴对称，且与x轴，y轴均无交点，求此函数的解析式及不等式f(x2)16的解集．
【答案】函数的解析式是yx4，
不等式的解集为(,5)(3,)．
2 2
【解析】由题意，得3m70，所以m7，
3
因为mN，所以m0、1或2，

因为幂函数的图像关于y轴对称，所以3m7为偶函数，

当m0时，3m77（舍），当m1时，3m74，
当m2时，3m71，
故当m1时，yx4符合题意，故函数的解析式为yx4，
所以不等式fx216可化为x2416，
解得x5或x3，
2 2
所以所求不等式的解集为,53,

   
 2  2 

【例题3.2】已知函数yxn22n3nZ的图像与两坐标轴都无公共点，且其图像关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图像。
【答案】n的值为1、1、3，图像如果所示
【解析】因为函数图像与y轴无公共点，故n22n30，解得1n3
又图像关于y轴对称，则n22n3为偶数，又因为nZ，n0,1,2,3，
当n0时，n22n33（舍）；当n1时，n22n34；
当n1时，n22n30；
当n2时，n22n33（舍）；当n3时，n22n30；
n1、1或3，
此时，幂函数的解析式为yx0（x0）或