第7讲、幂函数Thr.docx

公众号：日日新学习频道第页第7讲、幂函数和初中学习的一次函数、反比例函数、二次函数一样，幂函数是高中学习的一个基本函数模型。后面我们还会相继学习指数函数、对数函数。学习一个新的函数，无外乎从它的定义、图像和性质入手，本讲我们也是按照这个学习的过程来展开。【导读】【知识梳理】1、幂函数的概念一般地，函数yxk（k为常数，kQ）叫做幂函数.2、幂函数的图像对于幂函数yxkkQ，设kq（pN*、qZ）且p,q互质，图像可概括为：pkqpk00k1k1p、q都是奇数p为奇数q为偶数p为偶数q为奇数公众号：日日新学习频道3、幂函数的性质性质1：对于幂函数yxkkQ，当k0时，函数的图像都经过点0,0，1,1，在第一象限内单调递增；当k0时，函数的图像都经过1,1，在第一象限内单调递减。性质2：对于幂函数yxkkQ，设kqp,qN*且p,q互质，pq（1）当p为奇数，q为偶数时，函数yxp分布在第一、二象限，图像关于y轴对称，是偶函数；q（2）当p为奇数，q为奇数时，函数yxp分布在第一、三象限，图像关于原点对称，是奇函数；q（3）当p为偶数，q为奇数时，函数yxp分布在第一象限，图像没有对称轴和对称中心，既不是奇函数，又不是偶函数。考点一：幂函数的定义判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yxk（k是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．【例题精讲】【例题1.1】已知幂函数f(x)的图象过点（2，1），试求该函数的解析式．4【答案】yx2【解析】设该幂函数的解析式为yxk，k为常数，将点2,1代入，得12k，解得k2，44所以幂函数的解析式为yx2公众号：日日新学习频道考点二：幂函数的图象要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：（1）当x的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）当x的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限．；【例题2.1】已知函数yxa，yxb，yxc的图象如图所示，则实数a,b,c的大小关系为（）A．cbaC．bca【答案】AB．abcD．cab【解析】由幂函数的图像特征知，c0,a0,b0，由幂函数的性质知，当x1时，指数大的面函数的函数值就大，则ab综上所述，可知cba.考点三：幂函数性质的应用（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等．【例题3.1】如图，幂函数yx3m7mN的图象关于y轴对称，且与x轴，y轴均无交点，求此函数的解析式及不等式f(x2)16的解集．【答案】函数的解析式是yx4，不等式的解集为(,5)(3,)．22【解析】由题意，得3m70，所以m7，3因为mN，所以m0、1或2，因为幂函数的图像关于y轴对称，所以3m7为偶函数，当m0时，3m77（舍），当m1时，3m74，当m2时，3m71，故当m1时，yx4符合题意，故函数的解析式为yx4，所以不等式fx216可化为x2416，解得x5或x3，22所以所求不等式的解集为,53,22【例题3.2】已知函数yxn22n3nZ的图像与两坐标轴都无公共点，且其图像关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图像。【答案】n的值为1、1、3，图像如果所示【解析】因为函数图像与y轴无公共点，故n22n30，解得1n3又图像关于y轴对称，则n22n3为偶数，又因为nZ，n0,1,2,3，当n0时，n22n33（舍）；当n1时，n22n34；当n1时，n22n30；当n2时，n22n33（舍）；当n3时，n22n30；n1、1或3，此时，幂函数的解析式为yx0（x0）或yx4，其图像如右图第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．（2）给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1．第三步：同底的幂，用指数