高中数学第一轮总复习5.2向量的字符运算理(广西专版).ppt

第五章平面向量考点
搜索一、平面向量数量积的有关概念
1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，θ=___，当且仅当a、b反方向时，θ=______，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题.2.如果a，b的夹角为____，则称a与b垂直，记作_______.
3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则__________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即______________.
规定0·a=___.
当a⊥b时，θ=____，这时a·b=____.
二、a·b的几何意义
1.一个向量在另一个向量方向上的投影.设θ是a与b的夹角，则_________称作a在b方向上的投影._______称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当______________时，它是正数；当___________________时,它是负数；当θ=90°时,它是零.
2.a·b的几何意义.
a·b等___与b在a方向上的投影的乘积.
3.a·b的性质.
设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：(1)e·a=a·e=|a|cosθ;
(2)a⊥b________;
(3)当a与b同向时，a·b=___________；
当a与b反向时，a·b=____________；
特别地，a·a=a2=|a|2，或|a|=_____;
(4)cosθ=_________;
(5)|a·b|≤|a|·|b|.1.已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3，
则|5a-b|=____.
解：

所以|5a-b|=7.2.若a,b,c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()
A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)
解：A、B、C是运算律，而a·b=λ∈R,
b·c=μ∈R,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
故选D.3.在△ABC中，已知向量与满足
且
则△ABC为()
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形
C.等腰非等边三角形D.等边三角形
解：在△ABC中，
(M在∠BAC的平分线上)，由知
所以⊥，则△ABC是等腰三角形；
因为所以
则∠BAC=60°，
所以△ABC是等边三角形.
故选D.1.如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值.
解法1：因为，
所以
因为
所以

故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，
的值最大，其最大值为0.
解法2：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).
所以

所以因为
所以cx-by=a2cosθ，
所以
故当cosθ=1，即θ=0(与方向相同)时，的值最大，其最大值为0.
点评：向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，c=5a+3b，d=3a+kb，求当实数k为何值时，c⊥d？
解：要使c⊥d，即c·d=0，
即(5a+3b)·(3a+kb)=0，
所以15a2+(9+5k)a·b+3kb2=0，
所以15×4+(9+5k)×2×3cos+3k·9=0，
解得k=.
所以当k=时，c与d垂直.2.已知向量a与b的夹角为120°,
且|a|=4，|b|=2.求：
(1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)·(a+b).
解：依题意得
a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.
(1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12，
所以|a+b|=
(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2
=9a2-24a·b+16b2=16×19，
所以|3a-4b|=.
(3)(a-2b)·(a+b)=a2-2a·b+a·b-2b2
=42-(-4)-2×22=12.
点评：求形如|a+b|的模，一般是通过|a+b|2=(a+b)2把求模转化为数量积来求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算术平方根即可.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，
它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a-b)⊥c；
(2)若|ka+b+