高三数学第一轮总复习 5.2 向量的字符运算课件.ppt

5.2向量的字符运算一、平面向量数量积的有关概念
1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，θ=①___，当且仅当a、b反方向时，θ=②______，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题.2.如果a，b的夹角为③____，则称a与b垂直，记作④_______.
3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则⑤__________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即⑥______________.
规定0·a=⑦___.
当a⊥b时，θ=⑧____，这时a·b=⑨____.
二、a·b的几何意义
1.一个向量在另一个向量方向上的投影.设θ是a与b的夹角，则⑩_________称作a在b方向上的投影.11_______称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当12______________时，它是正数；当13___________________时,它是负数；当θ=90°时,它是零.
2.a·b的几何意义.
a·b等于14___与b在a方向上的投影的乘积.
3.a·b的性质.
设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：(1)e·a=a·e=|a|cosθ;
(2)a⊥b15________;
(3)当a与b同向时，a·b=16___________；当a与b反向时，a·b=17____________；特别地，a·a=a2=|a|2，或|a|=18_____;
(4)cosθ=19_________;
(5)|a·b|≤|a|·|b|.盘点指南：①0°;②180°;③90°;④a⊥b;⑤|a||b|·cosθ;⑥a·b=|a||b|cosθ;⑦0;⑧90°;⑨0;⑩|a|cosθ;11|b|cosθ;120°≤θ＜90°;1390°＜θ≤180°;14|a|;15a·b=0;16|a||b|;17-|a||b|;18;19已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3，则|5a-b|=____.
解：

所以|5a-b|=7.若a,b,c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()
A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)
解：A、B、C是运算律，而a·b=λ∈R,
b·c=μ∈R,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选D.在△ABC中，已知向量与满足
且则△ABC为()
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形
C.等腰非等边三角形D.等边三角形
解：在△ABC中，(M在∠BAC的平分线上)，由知
所以⊥，则△ABC是等腰三角形；
因为所以
则∠BAC=60°，
所以△ABC是等边三角形.
故选D.1.在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是______.
解：设

所以
故填-2.点评：向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，c=5a+3b，d=3a+kb，求当实数k为何值时，c⊥d？
解：要使c⊥d，即c·d=0，
即(5a+3b)·(3a+kb)=0，
所以15a2+(9+5k)a·b+3kb2=0，
所以15×4+(9+5k)×2×3cos+3k·9=0，
解得k=.
所以当k=时，c与d垂直.2.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4，|b|=2.求：
(1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)·(a+b).
解：依题意得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.
(1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12，
所以|a+b|=
(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2
=16×19，
所以|3a-4b|=.
(3)(a-2b)·(a+b)=a2-2a·b+a·b-2b2
=42-(-4)-2×22=12.
点评：求形如|a+b|的模，一般是通过|a+b|2=(a+b)2把求模转化为数量积来求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算术平方根即可.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a-b)⊥c；
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围.
解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之间的夹角均为120°，
所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°