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复变函数与积分变换（B）2013年9月3日对象学习方法背景十九世纪奠定复变函数的理论基础
三位代表人物:
A.L.Cauchy（1789-1866)
K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数
G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质
通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.

1.复数的概念

2.代数运算

3.共轭复数

一般,任意两个复数不能比较大小.定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)z1+z2=z2+z1；
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
121.点的表示
2.向量表示法
3.三角表示法
4.指数表示法1.点的表示2.向量表示法辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，当z落于一,四象限时，不变.181920o22引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程
（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方
程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.x25注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应
不同问题的需要.2013年9月4日2829301.复数的乘积与商
2.复数的乘幂
3.复数的方根定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，
两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度
Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.由于辅角的多值性，因此，该等式两端都是无穷多个数构成的两个数集,等式两端可能取的值的全体是相同的,也就是说，对于左端的任一值，右端必有一值和它相等，并且反过来也一样。要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，
两个复数的商的辐角等于被除数与除
数的辐角之差.设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证
明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ.问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的
复数ω.当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，
而k取其它整数时，这些根又会重复出现.1.区域的概念
2.简单曲线（或Jordan曲线)
3.单连通域与多连通域1.区域的概念开集若G内的每一点都是
内点，则称G是开集.有界区域与无界区域
若存在R>0,对任意z∈D,均有
z∈G={z||z|<R}，则D是有界区域；否则无界.452.简单曲线（或Jardan曲线)重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，
对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，
称z(t1)为曲线C的重点.3.单连通域与多连通域例如|z|<R（R>0）是单连通的；
0≤r<|z|≤R是多连通的.作业515253541.复变函数的定义
2.映射的概念
3.反函数或逆映射1.复变函数的定义57例1以下不再区分函数与映射（变换）.例3o例53.反函数或逆映射例已知映射w=z3，求区域0<argz<在平面w上的象.2008.10.8(第三次课)1.函数的极限
2.运算性质
3.函数的连续性1.函数的极限(1)意义中的方式是任意的.
与一元实变函数相比较要求更高.定理2例13.函数的连续性例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续.定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)
仍为连续函数;
连续函数的复合函数仍为连续函数.第二章解析函数1.复变函数的导数定义
2.解析函数的概念一.复变函数的导数(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零.(2)求导公式与法则③设函数f(z),g(z)均可导，则
[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，
[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)
④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g(z)，
其中w=g(z).例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？83例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导.858687(1)复变函数在一点处可导，要比实函数
在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故.(3)可导与连续2.4解析函数
1.解析函数的概念91例如
(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数；
(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
函数；
(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4).定理2设w=f(h)在