复变函数解析函数ppt课件.ppt

第二章解析函数1.复变函数的导数定义一.复变函数的导数(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。(2)求导公式与法则
④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g(z)，
其中w=g(z)。例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。(1)复变函数在一点处可导，要比实函数
在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。(3)可导与连续二.解析函数的概念例如
(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数；
(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
函数；
(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4)。定理2设w=f(h)在h平面上的区域G内解析,
h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值
集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析。§2.2解析函数的充要条件如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。一.解析函数的充要条件1819记忆定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，
则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是
u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足
Cauchy-Riemann方程证明
（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证
f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。
Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要
条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且
满足Cauchy-Riemann方程使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，
ii)验证C-R条件.二.举例解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny仅在点z=0处满足C-R条件，故例2求证函数例3例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，
且确定练习:§2.3初等函数一.指数函数37这个性质是实变指数函数所没有的。二.三角函数和双曲函数正弦与余弦函数的性质思考题由正弦和余弦函数的定义得45定义47三.对数函数(2)对数函数的性质例4四.乘幂与幂函数—q支(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a的
n次根意义一致。解幂函数zb除去b为正整数外，多值函数，
当b为无理数或复数时，无穷多值。5.反三角函数与反双曲函数