6.3.5-平面向量数量积的坐标表示-学案(人教A版2019必修第二册).docx

6.3.5平面向量数量积的坐标表示
【学习目标】
素养目标学科素养1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积。（重点）
2.能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直。（重点）1.数学运算;
2.逻辑推理【自主学习】
一．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

数量积两个向量的数量积等于它们，即a·b＝向量垂直a⊥b⇔
注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
二．与向量的模、夹角相关的三个重要公式
1.向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.
2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.
3.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝.
注意：由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()
(4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．()
(5)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．()

【经典例题】
题型一数量积的坐标运算
点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
例1已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，(a＋b)·(2a－b)．

【跟踪训练】1已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝()
A．－1 B．－eq\f(1,2)
C.eq\f(1,2) D．1
题型二平面向量的模
点拨：求向量的模的两种方法：
1.字母表示下的运算，利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq\r(x2＋y2).
例2已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()
A．4eq\r(2) B．2eq\r(5)
C．8 D．8eq\r(2)
【跟踪训练】2已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，－1)，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝________．

题型三平面向量的夹角和垂直问题
点拨：解决向量夹角问题的方法
1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a·b以及|a|，|b|，再由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，求出cosθ，也可由cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
2.由于0≤θ≤π，所以利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
例3已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．

【跟踪训练】3已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围．

【当堂达标】
1.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)
A．－1B．0C．1 D．2
2.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|＝()
A．eq\r(5)B．eq\r(10)C．5 D．25
3.已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m＝()
A．2eq\r(3)B.eq\r(3)C．0 D．－eq\r(3)
4.已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是()
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5.已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝_____