高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案.doc

6.3.5平面向量数量积的坐标表示[目标]1.会用坐标表示平面向量的数量积；2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角；3.能够利用坐标判断向量的垂直关系．[重点]用坐标表示平面向量的数量积．[难点]用坐标求向量的模及两向量的夹角．要点整合夯基础知识点一面向量数量积的坐标表示[填一填]设向量a＝(x1y1)b＝(x2y2)则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．[答一答]1．公式a·b＝|a||b|cosθ与a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？提示：两个公式都是用来求两向量的数量积的没有本质区别只是书写形式的差异可以相互推导；若题目给出的是两向量的模与夹角则可直接利用a·b＝|a||b|·cosθ求解若已知两向量的坐标则可选用a·b＝x1x2＋y1y2求解．知识点二平面向量长度(模)的坐标表示[填一填]若向量a＝(xy)则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．[答一答]2．对于任意的非零向量a＝(xy)如何用坐标表示与向量a同向的单位向量？提示：记向量a的单位向量为a0则a0＝eq\f(a|a|)且|a|＝eq\r(x2＋y2)所以a0＝eq\f(a|a|)＝eq\f(1\r(x2＋y2))(xy)＝(eq\f(x\r(x2＋y2))eq\f(y\r(x2＋y2)))此为与向量a＝(xy)同向的单位向量．3．若A(x1y1)B(x2y2)怎样求线段AB的长度？提示：由于eq\o(AB\s\up16(→))＝(x2－x1y2－y1)且线段AB的长度等于向量eq\o(AB\s\up16(→))的模所以线段AB＝|eq\o(AB\s\up16(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知识点三两向量垂直的坐标表示[填一填]设a＝(x1y1)b＝(x2y2)则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.[答一答]4．已知非零向量a＝(x1y1)b＝(x2y2)则a∥b与a⊥b的坐标表示有何区别？提示：若a∥b⇔x1y2＝x2y1即x1y2－x2y1＝0.若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2即x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆可以对比学习分别简记为：纵横交错积相等横横纵纵积相反．知识点四平面向量夹角的坐标表示[填一填]设ab都是非零向量a＝(x1y1)b＝(x2y2)θ是a与b的夹角则cosθ＝eq\f(a·b|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2\r(x\o\al(21)＋y\o\al(21))\r(x\o\al(22)＋y\o\al(22)))(0≤θ≤π)．[答一答]5．两向量a与b满足a·b<0a与b的夹角一定是钝角吗？提示：不一定a与b夹角可能是180°.典例讲练破题型类型一平面向量数量积的坐标运算[例1]已知向量a＝(13)b＝(25)求a·b(a＋b)·(2a－b)．[分析]运用向量数量积坐标运算的法则及相关性质求解．[解]a·b＝1×2＋3×5＝17.∵a＋b＝(38)2a＝(26)∴2a－b＝(26)－(25)＝(01)∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.进行向量的数量积运算前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开再依据已知计算.[变式训练1]向量a＝(1－1)b＝(－12)则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．2解析：a＝(1－1)b＝(－12)∴(2a＋b)·a＝(10)×(1－1)＝1.类型二向量的模的问题[例2](1)向量eq\o(AB\s\up16(→))与向量a＝(－34)的夹角为π|eq\o(AB\s\up16(→))|＝10若点A的坐标是(12)则点B的坐标为()A．(－78)B．(9－4)C．(－510)D．(7－6)(2)设向量a与b的夹角为θ且a＝(33)2b－a＝(－1－1)则|b|＝________cosθ＝________.[解析](1)∵向量eq\o(AB\s\up16(→))与向量a＝(－34)的夹角为π∴设eq\o(AB\s\up16(→))＝ka＝k(－34)＝(－3k4k)(k<0)．由此可得|eq\o(AB\s\up16(→))|＝eq\r(－3k2＋4k2)＝10解之得k＝－2(k＝2舍去)．∴eq\o(AB\s\up16(→))＝(6－