解析几何中有关参数范围问题的求解策略 学法指导 不分版本 试题.doc

解析几何中有关参数范围问题的求解策略
曾庆宝

解析几何中的参数范围问题是平时考试和高考中的重要考查内容，但这一类题综合性强、变量多、涉及知识面广，是难点问题。解答这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等，将问题转化为求函数的值域划最值等来解决。
一.运用数形结合探求参数范围
例1.m为何值时，直线与半椭圆只有一个公共点？
分析：因为椭圆为半条曲线，若利用方程观点研究这类问题，则需转化成根的分布问题，较麻烦且易出错。若用数形结合的思想来研究则直观易解。如图，是直线系中的三条直线，这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的“界线”，在与之间的直线（含，不含）及都是与半椭圆只有一个公共点的直线，而m是这些直线在y轴上的截距，由此可求m的范围。

解：过，则
过，则
由得到关于x的一元二次方程。
利用△＝0得
综上所得，或

二.构建函数关系探求参数范围
例2.P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。
解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），故PQ方程为。代入椭圆方程得

设P、Q两点的坐标分别为，则

从而
①当时，MN的斜率为，同上可推得

故四边形面积
令，得
因为，此时，且S是以u为自变量的增函数，所以。
②当时，MN为椭圆长轴，

综合①②知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为。

三.构造含参数不等式探求参数范围
例3.已知抛物线，过M（a，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，。
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围。对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值。
解：（1）直线的方程为：，将代入抛物线方程，设得
设直线与抛物线两交点的坐标分别为，则
，并且

又
所以
解得：
（2）令AB中点为Q，

即△NAB的面积的最大值为。

例4.已知梯形ABCD中，，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率e的取值范围。
分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。
解：如图建立坐标系，CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。

依题意，记，其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高。
由，即
解得：
设双曲线的方程为，则离心率
由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线的方程得：

将<1>式代入<2>式，整理得：
故
依题设得：
解得：
所以双曲线的离心率的取值范围是

四.运用几何性质探求参数范围
例5.已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点。
证明：
分析：欲证满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：，因此问题转化为寻求与x的关系。
证明：由题设可知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以
若设，则有：

因为点A、B在椭圆上，所以
从而由可得，

五.构造方程运用判别式探求参数范围
例6.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，求p的取值范围。
分析：解决本题的关键是建立方程，运用判别式找到关于p的不等式。
解：设抛物线上关于直线对称的两点是
设直线MN的方程为，代入抛物线方程，得

则
则MN的中点P的坐标为
又因点P在直线上，所以，即
又
将代入得：
解得：

【练习】
1.设椭圆的两个焦点是与，且，椭圆上存在一点P，使得直线与垂直。
（1）求实数m的取值范围；
（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点Q若，求直线的方程。
2.在以O为原点的直角坐标系中，点为△OAB的直角顶点。已知，且点B的纵坐标大于零。
（1）求向量的坐标；
（2）求圆的关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围。

【答案】
1.（1）
（2）
2.（1）（6，8）
（2）
（3）存在