排列组合问题的求解策略 学法指导 不分版本 试题.doc

排列组合问题的求解策略杨昌叶求解排列组合的综合问题，一般是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生连续性过程“分步”，在计数时注意不重复，不遗漏。常见的解题策略有以下几种：1.特殊位置（或元素）优先安排例1.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A.300种B.240种C.144种D.96种（05年福建卷）解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有种方法，所以共有方案（种），故选（B）。2.合理分类与准确分步例2.从集合与中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），每排中字母P、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是____________（用数字作答）。（05年浙江卷）解析：（1）每排中只有数字0的排法有；（2）每排中只有字母P或Q的排法都有；（3）每排中无数字0，字母P、Q的排法有。所以不同的排法种数共有：3.排列、组合混合问题先选元（组合）后排列例3.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共_________________种（用数字作答）。（全国高考）解析：先将4个球分成3组，每组至少1个（即必有一组为2个），分法有种，然后再将这3组球放入4个盒子中每盒最多装一组，则恰有一个空盒的放法种数为（种）。4.正难则反、等价转化例4.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个。（05年全国卷）解析：用排除法解决。（1）总的四位数有；（2）个位数字为0的四位数有；（3）个位数字为5的四位数有。所以符合条件的四位数个数共有：另解：直接求有法（想一想，为什么？）5.相邻问题捆绑处理例5.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同放法种数为（）A.96B.48C.24D.0（05年江苏卷）解析：在四棱锥中（1）先把安全的产品捆绑在一起有2种方法①；②。（2）四组产品放在4个编号不同的仓库里有种，所以安全存放的方法共有：（种）。故选（B）。6.不相邻问题插空处理例6.用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有________________个（用数字作答）。（05年辽宁卷）解析：此题是捆绑法和插空法的综合应用问题。把相邻的两个数捆成一捆，分成四个空，然后再将7与8插进空中有种插法；而相邻的三捆都有种排法，再它们之间又有种排序方法。故这样的八位数共有：（个）7.定序问题排除处理例7.在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有多少种？解析：先从7人中任选4人接力有种方法，排除甲和乙跑中间棒的种方法，但甲、乙二人都跑中间的减了两次，故再加上二人都跑中间棒的种方法，即（种）另解：直接求有法（想一想，为什么？）8.分排问题直接处理例8.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A.234B.346C.350D.363（04年辽宁卷）解析：在排列问题中，站若干排与站一排一样，故一共可坐的位子有20个，2个人就座方法数为，还需排除两人左右相邻的情况，把可坐的20座位排成连续一行（一排末位B与二排首位C相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有，但这其中包括B、C相邻与E、F（前排中间3座的左E、右F）相邻，而这种相邻在实际中是不相邻的，还应再加上。所以不同排法的种数为：故选B。9.构造模型例9.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；（4）平均分给甲、乙、丙三人；（5）平均分成三堆。解析：本问题中的每一小题都提出了一种类型问题，要搞清类型的归属。（1）属非均匀分组问题，先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本作为一堆，有种取法，最后余下的3本作为一堆有种取法，故共有分法：（种）（2）属非均匀定向分配问题，与（1）同解，因每种分组方法仅对应一种分配方法，故也共有分法60种。（3）属非均匀不定向分配问题，由（1）知分成三堆有60种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故共有分法（种）。（4）属均匀定