中考数学总复习 重难题型补充题库 最值问题(pdf) 试题.pdf

最值问题

1.如图，抛物线yax2bx2交x轴于A、B两点，交y轴于

点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），

B（4，0）.

（1）求抛物线和直线BC的解析式；

（2）点F是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点F作

x轴的垂线与直线BC相交于点E，交x轴于点N.

①若线段EF有最大值，请求出线段EF的最大值及此时F

点的坐标；

②若四边形CDBF的面积最大，求出四边形CDBF面积的

最大值及此时E点的坐标.

第1题图

解：（1）∵抛物线yax2bx2经过点A（-1，0），B（4，

0），
1
ab20a=-
2
∴，解得，
16a4b+2=03
b
2

13
∴抛物线的解析式为yx2x2；
22

令x0，则y2，即C（0，2），

设直线BC的解析式为ykxm(k≠0)，直线BC经过C（0，

2），B（4，0），

m=2
m=2
∴，解得1，
4km0k
2

1
∴直线BC的解析式为yx2.
2

113
（2）①设E(a,a2)，则F(a,-a2a2)，
222

131
∴EFa2a2(a2)
222

1
a22a
2

1
(a2)22,
2

1
∵0，
2
∴当a=2时，线段EF有最大值为2，此时F（2，3）.

②过点C作CM⊥EF于点M，如解图，

b3
∵抛物线的对称轴为x，则
2a2

35
D（，0），BD=，
22

∴S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF第1题解图

11
BDOC+EF（CM+NB）
22

1511
2+（-a22a)[a(4a)]
2222

5
a24a
2

13
(a2)2，
2

13
∴当a2时,S四形有最大值为，此时E（2，1）.
边CDBF2

2.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A（-1，0）、
3
B（5，0），直线yx3与y轴交于点C，与x轴交于
4
点D，点P是x轴上方抛物线上一个动点，过P作PE⊥x

轴交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
9
（2）当m时，在抛物线的对称轴上找一点G，使
2
PG+GB最小，求点G的坐标；

（3）若E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，

使点E′落在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存

在，说明理由.

第2题图

解：（1）把点A（-1，0）、B（5，0）的坐标代入

21bc0b4
yxbxc，得,解得,
255bc0c5

∴抛物线的解析式为yx24x5.

2
（2）yx24x5x29,

∴抛物线的对称轴为直线x=2，
911
当x=m=时，yx24x5,
24
911
P,.
24

如解图①，点A与点B关于直线x=2对称，连接PA交

直线x=2于点G，连接BG，此时PG+BG最小，设直线

PA的解析式为ykxn，

911
把点P,、A（-1，0）代入ykxn得
24

1
911k
kn2
24,解得,
1
kn0n
2
11
∴直线PA的解析式为yx,
22
113
∵当x=2时,yx,
222
3
∴点G的坐标为2,;第2题解图①
2

（3）存在.如解图②，连接PE′，设P的坐标为x,x24x5

3
（-1＜x＜5），则E的坐标为x,x3，
4

23219
PEx4x5x3xx2,
44
3
当x=0时，yx33，则C的坐标为（0，3）.
4
2
235
CEx3x3x,
44

∵点E′是点E关于直线PC的对称点，

∴PE=PE′，EPCEPC,CE=CE′，

∵PE∥CE′，

∴ECPEPC,

ECPEPC,

∴E′P=E′C，

∴PE=CE，

195
x2x2x,
44
195
即x2x2x,第2题解图②
44
1951
当x2x2x时，解得x,x4.
44122
111
此时P点的坐标为,或4,5；
24
195
当x2x2x时，解得x311,x311（舍去），
4412
此时P点的坐标为311,2113，

当点E与点C重合时，点E关于PC的对称点E′与E重

合，此时点P在y