中考数学 重点题型补充题库 线段最值问题(pdf) 试题.pdf

线段最值问题

1.阅读理解

如图①，已知A、B两点在直线l的同侧，在直线l上求作一

点P，使PA+PB最小.我们只要作点B关于直线l的对称点B′

(如图②所示），连接AB′交直线于点P，则点P就是直线到

A、B两点距离之和最小的点.

第1题图

问题解决

（1）如图③，小王从点A（0，2）处放牛后，要把牛赶到河

边（x轴）饮水，然后回到点B（4，3）处的家（单位是100

m），试求小王从点A到点B所经过的最短路径的长；

第1题图
问题拓宽

（2）如图④，河岸l同侧的两个居民小区A、B到河岸的距

离分别为a米、b米（即AA′=a米，BB′=5米），A′C=5米，

现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD（宽度不计），

使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小（即

AC+BD最小）.请你在图⑤中画出绿化带的位置，写出画法，

并说明理由；求AC+BD的最小值.

解：（1）如解图①，建立A、B所在平面直角坐标系xOy，

作点A（0，2）关于x轴的对称点A′（0，-2），连接A′B交

x轴于点P，即牛赶到P点饮水，

小王经过的路径最短.

A′B的长就是经过的最短路径.

A′B=（40）2[3（2）]241，第1题解图①

∴小王从点A到点B所经过的最短路径的长为10041米.

（2）如解图②，过点B作线段BE∥直线l，且BE=s，使点

E在点B的左侧，取点E关于直线l的对称点E′，连接EE′

交直线l于点F，连接AE′交直线l于点C，在直线l上点C

的右侧截取CD=s，则CD就是所求绿化带的位置，理由：连
接CE，则CE=CE′.

由题意可知，四边形BECD是平行四边形，

∴CE=BD，∴DB=CE′，∴AC+BD=AC+CE′=AE′，

在直线l上任意取一点C′，在直线l上点C′的右侧截取C′D′=s，

如解图②，连接BD′，EC′，

则BD′=EC′=E′C′，

∴AC′+BD′=AC′+C′E′＞AE′，

故CD的位置即为C到小区

A的距离与D到小区B的第1题解图②

距离之和最小，在Rt△AA′C和Rt△E′FC中，∠ACA′=∠E′CF，
AAAC
∠AA′C=∠E′FC，∴△AA′C∽△E′FC，∴，即
EFFC
acbc
，∴FC，
bFCa
过点E′作E′G⊥AA′交线段AA′的延长线于点G，

在Rt△AGE′中，
bc
AG=ab，GE′=c+C′D=c+，
a

bc
∴AC+BD=AE′=(ab)2(c)2.
a
2.问题探究

（1）如图①，△ABC是钝角三角形，∠C＞90°，请在图①

中，将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的

两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上；

（2）如图②，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC=12，BC=5.

请在图②中，将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩

形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，

画出所有符合条件的矩形，并求出矩形的面积.

第2题图

问题解决

（3）李大爷现有一个锐角△ABC（AB＞AC＞BC）形的鱼塘

（如图③），鱼塘三个角的顶点A、B、C上各有一棵大树.

现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个矩形鱼塘（原鱼塘周

围的面积足够大），并还想：三棵大树A、B、C中的两个为

矩形鱼塘一边的两个端点，第三颗树落在鱼塘这一边的对边

上.请你在图③中，画出所有符合条件的矩形鱼塘的示意图，
并指出哪一个的周长最小？说明理由.

解：（1）△ABC补成矩形ABEF，

如解图①所示；第2题解图①

（2）如解图②所示，共可以作出两个矩形，以AB为矩形的

边：∵∠C=90°，AC=12，BC=5，ABAC2BC21225213，

设△ABC的边AB上的高为h，
11
则SABCABh=ACBC，
22
11
即13h=512，第2题解图②
22
6060
解得h=，所以，矩形ABEF的面积=13=60
1313，

以AC为边，点B在对边BD上，以BC为边，点A在对边

AD上，此时矩形ADBC的面积ACBC12560；

（3）分别以AB、BC、AC为矩形的一边，另一顶点在矩形

的对边上，如解图③所示；

第2题解图③
2S
设△ABC的面积为S，则AB边上的高为，BC边上的高
AB
2S
为2S，AC边上的高为，所以，三个矩形的周长分别
BCAC
2S2S2S
为（），（），（），
2AB+AB2BC+BC2AC+AC
2S2S
（2AB）（2BC）
ABBC
4S4S
2ABBC()
ABBC
4S(ABBC)
2ABB