中考数学 重点题型补充题库 面积最值问题(pdf) 试题.pdf

面积最值问题

1.（1）如图①，在半径为2的⊙O中，∠AOB=60°，则△AOB

的面积S△AOB=＿＿；

（2）如图②，在半径为R的⊙O中，弦AB在⊙O上，求△

AOB的面积最大值；

（3）如图③，在半径为3的半圆M中，点A、B为半圆上的

任意两点（点A在点B的左边），弦AB的长为32，过点A、

B分别向半圆M的直径作垂线，垂足分别为点D、点C，则

四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，计算出最大

面积；若不存在，说明理由.

第1题图

解：（1）3；

【解法提示】如解图①，过点O作OH⊥AB于点H，根据垂
1
径定理可得：AHBHAB.
2
∵OA=OB，AOB=60，
∴AOB是等边三角形，

∴ABOA2,

∴AH1,OHOA2AH23,
11
∴SABOH233;
AOB22

第1题解图

（2）过点B作BG⊥AO，交AO的延长线于点G，如解图②，

则有BG≤BO，
11
∴SAOBGAOBO,
AOB22
1
即SR2,
AOB2
1
∴当AOB90时，S取得最大值为R2;
AOB2
（3）存在.过点A作AQ⊥BC于点Q，如解图③，

∵AD⊥OE，BC⊥OE，AQ⊥BC，

∴ADCDCQAQC90，

∴四边形ADCQ是矩形，

∴DC=AQ，
∵AQ≤AB，AB=32，

∴DC≤32.

∵MA=MB=3，AB=32.

∴MA2+MB2=AB2，

∴AMB90,

∴DMACMB90,

∴DAMDMA90,

∴DAMCMB,

在△ADM和△MCB中，

DAMCMB

ADMMCB，

AMMB

∴△ADM≌△MCB（AAS），

∴AD=MC，DM=CB，

∴AD+BC=MC+DM=DC，

1121
∴S四边形(ADBC)DCDC189,
ABCD222
∴当四边形ABCD为矩形时，最大面积为9.

2.（1）如图①，点C为直线m上一点，A，B在m的同侧，

AE⊥m于点E，BF⊥m于点F，AC⊥BC.
求证：△AEC∽△CFB.

（2）如图②，在锐角△ABC中，ACB45,AB2,分别以A，

B为直角顶点向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角

三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂

足为M、N.

①则EM+FN=＿＿（直接写出答案）；

②求△ABC面积的最大值；

（3）在图③中，求△EFC面积的最大值.

第2题图

（1）证明：如解图①，∵AE⊥m，BF⊥m，

∴AECBFC90,

∴∠EAC+∠ACE=90°，

∵AC⊥BC，第2题解图①

∴∠BCF+∠ACE=90°，

∴EACBCF,
∴△AEC∽△CFB.

（2）解：①2；

【解法提示】如解图②，过点C作

CH⊥AB于点H，根据（1）的结论，

有EMAAHC,MEAHAC,又∵第2题解图②

AE=AC，∴△AEM≌△CAH，∴EM=AH，同理，FN=BH，

∴EM+FN=AB=2.

②如解图③，作△ABC的外接圆，连

接OA、OB，

∵AB=2为定值，BCA=45°为定值，

当点C在圆周上运动时，可知当点C第2题解图③

正好为AB垂直平分线上一点时，即此时三角形ABC的高PC

最大，所以此时面积最大.
1
∴AC=BC，AOB90,APBPAB1,
2
1
∴OPAB1,∴OC'OB2,
2
∴PC'OPOC'12,
1
∴△ABC的最大值S△ABC=ABC'P12.
2
（3）解：如解图④，过F作EC延长线的垂线，垂足为点G，
∵ECA=45°，ACB=45°，BCF=45°，

∴FCG=45°.

设ACa,BCb,

则EC2a,FC2b,

又∵高GFCFsin45，
1
∴SCECFsin45第2题解图④
ECF2
122
=2a2b=ab.
222

过点B作AC的垂线，垂足为H，

12
则BHBCsinBCH=bsin45，∴Sabsin45=ab；
ABC24

由（2）可知，SABC（最大）=2+1，

2
即S（最大）=ab=2+1，
ABC4

∴ab（最大）=4+22，

22
∴S（最大）=ab=（4+22）=22+2.
EFC22

3.问题探究

（1）如图①，Rt△AOD中，O90,AO3,DO4,作点A关

于点O的对称点C，点D关于点O的对称点B，得四边形
ABCD，并求四边形ABCD