高二数学（文）第一轮复习：函数图象、反函数、抽象函数人教实验版（A）.doc

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高二数学（文）第一轮复习：函数图象、反函数、抽象函数人教实验版（A）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
函数图象、反函数、抽象函数

二.重点、难点：
1.求反函数
（1）判断是否有反函数
（2）将看成关于的方程y为参数，解出
（3）改写为习惯形式（注明定义域）
2.图象
（1）基本函数图象
（2）函数图象的平移、伸缩
（3）含绝对值函数图象的画法
（4）利用图象解题

【典型例题】
[例1]求下列函数反函数
（1）
（2）
（3）
答案：
（1）

∴
（2）

∴
（3）

∴

[例2]一次函数，反函数还是自己，求
答案：设∴
∴或
∴或（）

[例3]为何值时，方程有两个不等实根
答案：作函数
的图象使两个图象恰有两个不同的交点
∴无解一解
两解

[例4]方程，的解为，求。

答案：
作图：
A、B关于P对称，∴

[例5]对函数定义域中任一个x的值均有，
（1）求证的图像关于直线对称；（2）若函数对一切实数x都有
，且方程恰好有四个不同实根，求这些实根之和。
考查方向：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题。
知识背景：把证明图象对称问题转化到点的对称问题。
易错分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化。
技巧方法：数形结合、等价转化。
（1）证明：设是函数图象上任一点，则
∵∴点与关于直线对称
又
∴
∴也在函数的图象上，故的图象关于直线对称
（2）解：由得的图象关于直线x=2对称
若是的根，则也是的根
若是的根，则也是的根
∴即的四根之和为8

[例6]如图，点A、B、C都在函数的图象上，它们的横坐标分别是，又A、B、C在x轴上的射影分别是，记的面积为，的面积为。
（1）求函数和的表达式；
（2）比较与的大小，并证明你的结论。

考查方向：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等。
知识背景：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口。
易错分析：图形面积不会拆拼。
技巧方法：数形结合、等价转化。
解：（1）连结AA′、BB′CC′，则

（2）

∴

[例7]已知函数的图象如图，求的范围。

解法一：观察的图象，可知函数的图象过原点，即，得
又的图象过（1，0）∴①
又有，即②
①+②得，故的范围是
解法二：如图有三根0，1，2
∴
∴∵当时，，从而有∴

[例8]对一切，
（1）求f（0）
（2）判断并证明y=f（x）的奇偶性
答案：
（1）令
（2）令∴∴奇函数

[例9]，对一切满足
（1）求f（1）
（2）求证：
（3）若时，恒成立，判断并证明的单调性
答案：（1）∴
（2）令∴∴
（3）任取

∵∴∴减函数

[例10]，对一切有且
（1）求f（0）
（2），不等式恒成立，求的范围
答案：
（1）令
令∴
（2）
显然不成立
时，如图∴

【模拟试题】
1.当时，和的图象只可能是（）

2.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是（）

3.已知函数，将的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，则函数
的最大值为。
4.如图，在函数的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为（）。
（1）若△ABC面积为S，求；（2）判断的增减性
5.如图，函数在的图象上有两点A、B，AB//Ox轴，点M（1，m）（且）是△ABC的BC边的中点。
（1）写出用B点横坐标表示△ABC面积S的函数解析式；
（2）求函数的最大值，并求出相应的C点坐标。

6.已知函数是的反函数，函数的图象与函数的图象关于y轴对称，设。
（1）求函数的解析式及定义域；
（2）试问在函数的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由。
7.已知函数，
（1）设，试画出的图象并求的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；
（2）若方程有两个不等的实根，求实数的范围。
（3）若的解集为，求的值。
8.设函数的图象为关于点A（2，1）对称的图象为C2，C2对应的函数为。
（1）求的解析表达式；
（2）若直线与C2只有一个交点，求的值，并求出交点坐标；
（3）解不等式（0）
9.已知函数的图像与函数+的图像关于点A（0，1）对称。
（1）求的解析式；
（2）若，且在（－∞，+∞）上为增函数，求实数的取值范围。
10.已知偶函数，对任意，恒有。
（1）求f（0），f（1），f（2）的值；
（2）求；
（3）判断在（0，+∞）上的单调性。
11.已知函数是函数的反函数，函数的图像与函数的图像关于直线成轴对称图形，记。
（1）求的解析式及定义域。
（2）试问