2008高考数学复习 平面向量的数量积.doc

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2008高考数学复习平面向量的数量积
高考要求：
掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
知识要点：
1．两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积（或内积）。规定
2.向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影．投影的绝对值称为射影。
3.数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积。
4.向量的模与平方的关系：
5.乘法公式成立：
；

6.平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
特别注意：（1）结合律不成立：；
（2）消去律不成立不能得到
（3）=0不能得到=或=
7．两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量，则·=．
8．向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角
cos==．
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
9.垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥
10.两个非零向量垂直的充要条件
⊥·＝O平面向量数量积的性质
题型讲解：
例1判断下列各命题正确与否：
（1）；（2）；
（3）若，则；
⑷若，则当且仅当时成立；
（5）对任意向量，有
解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；（5）对
例2.已知满足且
（1）求（2）求
解：（1）由
得即
则
整理得

（2）

例3.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值。
解：由题意，，且与的夹角为，
所以，，
，
，
同理可得
而，
设为与的夹角，
则
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。

例4.已知，，，按下列条件求实数的值。
（1）；（2）；
解：
（1）；
（2）；

点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。
例5.已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少?
分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值。
解：由＝（１，），＝（＋１，－１）
有·＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２．
记与的夹角为θ，则cosθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定。

由
例6.在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值。
解：当A=90时，=0，∴2×1+3×k=0∴
当B=90时，=0，==(12,k3)=(1,k3)
∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=
当C=90时，=0，∴1+k(k3)=0∴k=
例5.已知向量

向量是否共线？请说明理由.
求函数的最大值.
解：（1）

，与共线
（2）由（1）知

又

∴当时，函数f(x)取得最大值.

学生练习
1若=(-4,3),=(5,6),则3||２－４＝（）
A23B57C63D83
2已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则△为（）
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不等边三角形
3已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于（）
A或B或
C或D或
4已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为（）
ABCD
5已知=(λ，２)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）
Aλ＞Bλ≥Cλ＜Dλ≤
6给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(-),则x等于（）
A23BCD
7=(2,3),=(-2,4),则(+)·(-)=
8已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-)在线段的中垂线上，则x=
9已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为
10已知||=,=(1,2)且∥,则的坐标为
11已知=(1,2),(1,1),=-k,若⊥，则＝
12已知=(3,0),=(k,5)且与的夹角为，则k的值为
13已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x·=9与x·=-4的向量x
14已知点A(1，2)和B(4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ABC＝90°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标
15四边形ABCD中=(6,1),=(x,y)，=(-2,-3),
(1)若∥，求x与y间的关系式；
(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积
参考答案：1D2A3D4C5A6C7–78945°
10（，２）或（-，－２）
11()12-513(2,-3)14不能(理由略)
15(1)x+2y=0(2)S四边形ABCD=16

课前后备注