常微分方程定性理论3市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件.pptx

(三)不定号(变号)情形:G(θ)=0有有限实根θk(k=1,2,…,N)(m≤n,N≤2m+2)取ε>0,rk充分小,作扇形区域定理3①设为j奇数,CHk>0,则在方向θ=θk上存在一个第一类经典域.所以有没有数条轨线沿θ=θk进入奇点O;
②设j奇数,CHk<0则在方向θ=θk上存在一个第二类经典域.所以有一条或无数条轨线沿θ=θk进入奇点O;
③设j为偶数,则在方向θ=θk上存在一个第三
类经典域.所以有没有数条轨线沿θ=θk进入奇点O或没有轨线进入O.证实:①可取ε>0,rk充分小,使得扇形区域在上,同号;

在上,反号.
②在上,同号;

在上,反号.
③在上,同号.§5奇点三类判别问题但当r→∞时,注假如关于θ满足Lipschitz条件,

那么引理条件(1),(2)成立.因为条件(2)不能确保ξ(r,θ)关于(r,θ)连续,所以引理不确保解存在性.定理1设θ=θk是G(θ)=0j重根,j是奇数.

G(j)(θk)·H(θk)<0,满足无穷小

系数Lipschitz件

(1)C(r)=o(1),而且,当j=1时,

j>1时,

那么系统有唯一轨线沿θ=θk进入奇点O.

证实见张芷芬书P80—82.推论1设n<m,Yn中不含因子x,附加项满足条件(1),(2),则沿各有唯一轨线进入O.
证:n<m时,G(θ)=cosθYn,H(θ)=sinθYn
要使θ=θk是G(θ)=0根而不是H(θ)=0根,只能是,且Yn中不含因子cosθ,所以是单根,而且

推论2设n>m,Xn中不含因子y,附加项满足条件(1),(2),则沿θ=0,π各有唯一轨线进入O.二、第二判定问题
引理2考虑方程

其中j是偶数R>0,S≥0.假如那

么存在

①当S<S0时,在|θ-θk|<ε中,(4)有积分曲线沿θ=θk进入O;
②当S>S0时,(4)没有积分曲线沿θ=θk进入O.定理2(R.Lohn)设θ=θk是G(θ)=0j重根,
j是偶数.G(j)(θk)·H(θk)≠0,令

①设在扇形区域中,当
ε,rk足够小时

则在中有系统无数条轨线沿θ=θk进入奇点O;②设

则在中无轨线沿θ=θk进入奇点.其中三、中心焦点判定问题

m=n时定号情形.当系统为解析时,不存在中心焦点(张芷芬书P236—237定理2.1推论).

惯用方法有:1.极坐标法;2.Poincaré-Birkhoff标准形法(Poincaré形式级数法);3.Lyapunov常数法;4.后继函数法;5.平均法;6.内在调和平衡法;7.Lyapunov-Schmidt方法………..方法(一)极坐标法

G(θ)定号,设G(θ)>0,θ∈[0,2π],记

则I<0时奇点为稳定焦点,I>0时为不稳定焦点(均为粗焦点).I=0时?引理3设h(x)为以T为周期连续函数,则

其中

证法(一)将展开为一致收敛Fourier级数再积分.
证法(二)证

是以T为周期函数.考虑

或

Φ,Ψ在r2=x2+y2≤r12内解析.对于方程(1)

无实根

虚根
所以(1)标准化后成为对于方程(1′)
G(θ)=-β≠0,H(θ)=α,

考虑α=0,β≠0方程组(1′).在极坐标下,(1′)成为

R=o(r),Q=o(1),R,Q,Ri均为2π周期函数.对于方程(2),经极坐标变换化为

当G(θ)＝－Xm(θ)sinθ+Ym(θ)cosθ≠0时,m为奇数．上述方程组等价于G(θ)=qm+1≠0,H(θ)=pm+1.
作变换

则

所以，闭轨闭轨．方程(2′),化为

这里，方程(2″)形式与方程(3)一样．所以方程(1)和(2)均可在r<r2(r2<r1足够小)内化为

因为方程(3)满足初值条件r(0)=0解为r(θ)≡０,-∞<θ<∞．由解对初值连续依赖性，存在0<c1<r2，当c<c1时，满足初值条件r(0,c)=c解r=r(θ,c)在[-4π,4π]有定义，且在其上是c解析函数，所以可在[-4π,4π]上展为c收敛幂级数．

r=r(θ,c)=r1(θ)c+r2(θ)c2+…(4)(4)代入(3)得

其中
F2=r12R2,
F3=2r1r2R2+r13R3,
……
Fn是R2,…,Rn,r1,…,rn-1整系数多项式,而Rk是只依赖于(1)中右侧次数≤k项.
由初值r(0,c)=c,知
r1(0)=1,ri(0)=0,i≥2.
比较(5)式两边c同次幂系数得关于ri(θ)微分方程,再结合初值条件得

依据引理3假如g2=0,则r2以2π为周期,所以R3+2R2r2以2π为周期.再利用引理3

如此继续下去.若对一切k≥2,都有gk=0,则rk全是周期函数