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有限群整群环上自同构群的一些结果
有限群整群环上自同构群的研究是群论的一个重要分支。在本文中，我们将回顾一些有关有限群整群环上自同构群的重要结果和定理。
一、有限群上自同构群
我们首先考虑有限群上自同构群的一些性质和定理。设G是一个有限群。自同构映射指的是满足自同构条件的同态映射，即保持运算和一元运算不变的双射映射。自同构群Aut(G)是所有从G到G的自同构映射组成的群。自同构群Aut(G)中包含了G的对称性，因此自同构群Aut(G)的研究是群的结构研究的一个重要组成部分。
自同构群Aut(G)是一个群，在以下两个运算下封闭：
1.自同构合成：设f,g都是G的自同构映射，则f○g也是G的自同构映射，即(f○g)(x)=f(g(x))。
2.自同构逆：设f是G的自同构映射，则f的逆映射f^(-1)也是G的自同构映射，即f(f^(-1)(x))=f^(-1)(f(x))。
自同构群Aut(G)蕴含了很多关于G的重要信息，如G的子群结构、阶数和环状结构等。
注意到自同构群Aut(G)中的元素是自同构映射。对于群G，自同构群Aut(G)中的元素f可以表示为一个映射f:G->G的形式，其中f(x)表示f将元素x映射到的元素。此外，我们也可以将自同构群Aut(G)中的元素f表示为f(g)=g○f，其中○表示映射合成。
特别地，对于Abel群，其自同构群的结构可以进一步描述为一个矩阵群。
二、整环上自同构群
设R是一个整环（即交换环且不含零因子），R中的加法群群元的阶数均为2或素数。
我们可以将一个整环R上的n阶元写为[a]，其中a是R中的一个元素。注意到[a]表示的是所有可写成a的k倍（k=0,1,...,n-1）的元素所组成的集合。对于整环上的自同构群Aut(R)，我们有以下一些性质和定理：
1.对于任意的整环R和恰当的整数n，Aut(Z/nZ)≅(Z/nZ)^x，其中(Z/nZ)^x表示Z/nZ的可逆元组成的群。此结果说明了整环上自同构群的分类问题与整数分解问题有密切关联。
2.对于任意的整环R上的2阶元[a]，其中a是R中的一个元素，自同构群Aut([a])的结构只有以下两种情况：
（1）Aut([a])≅Z/2Z，即存在唯一的非平凡自同构σ，满足σ([a])=-[a]。
（2）Aut([a])≅V_4，即存在三个非平凡自同构σ,τ和ρ，满足σ^2=τ^2=(στ)^2=ρ^4=1，且[a]的所有自同构都可以表示为σ,τ或ρ的合成。
三、群和环上自同构群
考虑有限群G和任意的整环R上的一些结果：
1.若G是一个完全群，则Aut(G)≅Z/2Z×Sym(G)，其中Sym(G)表示G的对称群。
2.若G是一个p群，则其自同构群Aut(G)是有限p群的一个嵌套序列，其中最大的一个群是正规p子群，其余的子群均是来自于Semidihedral群的自同构群。
3.对于任意的整环R，环上的矩阵环和环上的循环幺环的自同构群都是可解的。
四、结论
有限群整群环上自同构群的研究可以帮助我们更好地分析群的结构，从而得到它们的性质。在这篇论文中，我们主要回顾了一些有关有限群整群环上自同构群的重要结果和定理。希望这篇文章能够为初学者更好地理解群论提供一些帮助。