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几类有限交换群的整群环的K1群
题目：有限交换群的整环的K1群
摘要：本论文主要研究了有限交换群的整环的K1群。首先介绍了有限群、交换群和整环的定义和基本性质。然后引入了K群的概念，并探讨了K1群的构造和性质。接下来，详细研究了有限交换群的整环的K1群的几类情况，包括循环群、商群和直积群。最后，对本论文的研究结果进行了总结，并指出了进一步研究的方向。
关键词：有限交换群、整环、K群、K1群、循环群、商群、直积群
一、引言
有限群、交换群和整环都是抽象代数中的重要概念，它们在代数学、几何学和数论等领域均有广泛的应用。K群作为一个代数K理论中的基本概念，描述了群的自同构与线性空间的自同构之间的关系。K1群是K群的特殊情况，它主要研究了群的单位元附近的自同构，对于研究群的结构和性质具有重要意义。
本论文将针对有限交换群的整环的K1群展开研究。首先介绍了有限群、交换群和整环的基本定义和性质。然后引入了K群的概念，并详细探讨了K1群的构造和性质。接下来，将研究有限交换群的整环的K1群的几类情况，包括循环群、商群和直积群。
二、有限交换群的整环的K1群的构造和性质
（一）有限群、交换群和整环的定义和基本性质
有限群是指元素数量有限的群，它满足群的四个基本性质：封闭性、结合性、单位元存在性和逆元存在性。交换群是满足交换律的群，即对于任意元素a和b，有ab=ba。整环是一个满足环公理的集合，它同时满足加法和乘法运算的封闭性、结合性、单位元存在性和分配律。
（二）K群和K1群的定义和性质
K群是群的自同构与线性空间的自同构之间的关系，它可以用于研究群的结构和性质。K1群是K群的特殊情况，它主要研究了群的单位元附近的自同构。K1群的构造与群的单位元的连续化有关，可以通过考虑归纳极限的方法来构造K1群。
（三）有限交换群的整环的K1群的几类情况
1.循环群的K1群
对于一个循环群，它可以由一个元素生成，因此其K1群可以由该元素的K1群生成。进一步研究发现，当循环群的阶数大于2时，其K1群是平凡的；当阶数为2时，其K1群是循环群Z/2Z。
2.商群的K1群
考虑一个有限交换群G的商群G/H，其中H是G的一个正规子群。根据商群的定义，G/H中的元素可以表示为G中的某个陪集。通过研究G中元素的K1群和它们的陪集的关系，可以得到G/H的K1群的生成元和结构。
3.直积群的K1群
直积群是由多个群按照乘积运算构成的群。对于有限交换群G1和G2的直积群G1×G2，其K1群的构造可以通过考虑G1和G2的K1群以及它们的生成元和结构的关系来实现。
三、结论和展望
本论文主要研究了有限交换群的整环的K1群的几类情况。通过研究循环群的K1群、商群的K1群和直积群的K1群，得到了它们的生成元和结构。这些结果揭示了有限交换群的整环的K1群的一些基本性质，对深入理解群的结构和性质具有重要意义。
进一步研究可以从以下几个方向展开。首先，研究其他类型有限交换群的整环的K1群，如有限环、多项式环等。其次，探索K1群在代数学、几何学和数论等领域的应用，例如在模型论中的应用，对于解决某些代数方程和几何问题可能有重要意义。最后，进一步深入研究K群的其他性质和数学结构，如K2群、K3群等，以及它们与K1群的关系和相互作用。
参考文献：
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