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有限群直积的自同构群
介绍
有限群直积是群论中的重要概念之一。对于任意若干个有限群G1,G2,...,Gn，我们可以定义它们的直积为集合G=G1×G2×...×Gn中的元素，其中每个元素是形如(g1,g2,...,gn)的有序n元组，其中gi∈Gi。我们可以定义群运算为(g1,g2,...,gn)(h1,h2,...,hn)=(g1h1,g2h2,...,gnhn)，其中gh∈Gh。
在这种定义下，我们可以证明G是一个群，并且它的阶为|G|=|G1||G2|...|Gn|。
当然，我们也可以将有限群看成是特殊的有限群直积，也就是将其看成是只由一个群组成的直积。
自同构群的定义
接下来，我们来探讨一个有趣的问题，即有限群直积的自同构群。首先，我们先来定义一下自同构群的概念。
对于一个群G，它的自同构群是指保持群乘法的运算和群单位元不变的自同构构成的群，记作Aut(G)。
即Aut(G)={φ:G→G|φ是双射，且φ(xy)=φ(x)φ(y)对于所有的x,y∈G成立，且φ(e)=e}。
有限群直积的自同构群
接下来，我们来探讨一个有趣的问题，即有限群直积的自同构群。
我们先给出一个引理：对于一个有限群H，Aut(H)中的元素一定是双置换群Sym(H)的子群。
这个引理可以通过对群同构的定义展开证明。具体地，我们可以构造一个双置换群Sym(H)到自同构群Aut(H)的同态映射T，其中T(f)(x)=f(x)对于所有的x∈H，且T(fg)=T(f)T(g)。因为一个同构映射必须是一个双射，所以对于每个自同构元素f，我们可以对应一个双置换σf。
现在我们来考虑有限群直积的自同构群。首先，我们可以证明如下的定理：
定理1：对于任意的有限群G1,G2,...,Gn，Aut(G1×G2×...×Gn)≅Aut(G1)×Aut(G2)×...×Aut(Gn)。
证明：我们的目标是构造一个从Aut(G1×G2×...×Gn)到Aut(G1)×Aut(G2)×...×Aut(Gn)的群同构。考虑将自同构φ∈Aut(G1×G2×...×Gn)映射成n个自同构φ1,φ2,...,φn，其中φi∈Aut(Gi)，即将φ看成是由n个自同构组成的元祖(φ1,φ2,...,φn)。我们来证明这个映射是一一对应的，并且保持群运算。
首先，当我们给出一个元祖(φ1,φ2,...,φn)时，我们可以构造出一个自同构φ∈Aut(G1×G2×...×Gn)，其中φ(g1,g2,...,gn)=(φ1(g1),φ2(g2),...,φn(gn))。首先我们证明这个映射是自同构。这个映射是单射，因为对于任意的(φ1,φ2,...,φn)≠(ψ1,ψ2,...,ψn)，我们可以找到某个i，使得φi≠ψi，因此(φ1,φ2,...,φn)和(ψ1,ψ2,...,ψn)对应的元素在φ的作用下一定是不一样的。这个映射也是满射的，因为对于任意的φ∈Aut(G1×G2×...×Gn)，其中φi(g1,g2,...,gn)=hi对于所有的g1∈G1,...,gn∈Gn，我们可以构造出(φ1,φ2,...,φn)，其中φi(gi)=hi，也就是说我们可以用φ在每个因子Gi上的作用来确定一个元祖(φ1,φ2,...,φn)。
现在我们证明这个映射保持群运算。对于任意的φ,ψ∈Aut(G1×G2×...×Gn)，其中φi(gi)=hi，ψi(gi)=ki，根据定义，我们有：
(φψ)(g1,g2,...,gn)=φ(ψ(g1,g2,...,gn))=φ((k1,g2,...,gn)(h1,g2,...,gn))=φ(k1h1,k2g2,...,kngn)=(k1h1,k2h2,...,knhn)=φ(g1,g2,...,gn)ψ(g1,g2,...,gn)=(h1h2,k2g2,...,kngn)=(h1,g2,...,gn)(k1,g2,...,gn)=(φ(g1,g2,...,gn))(ψ(g1,g2,...,gn))
综上所述，我们构造的这个映射是双射，由此可以得到Aut(G1×G2×...×Gn)≅Aut(G1)×Aut(G2)×...×Aut(Gn)。
有限直积的自同构群的性质
有限群直积的自同构群是一个非常有趣的群，它具有许多特殊的性质。接下来我们将介绍其中一些常见的性质。
1.对于任意的正整数m，有Aut(Zm×Zn)≅Aut(Zm)×Aut(Zn)当且仅当gcd(m,n)=1。
其中gcd(m,n)表示m和n的最大公约数。这个性质引入了一些有趣的结果。例如，对于任意的p≡3(mod4)，我们有Aut(Zp×Zp)≅GL2(Zp)。
2.对于任意的质数p和奇数n，Aut(Zp×Z2n)≅Aut(Zp)×GL2(Zn)。
这个性质也引入了一些有趣的结果。例如，对于任意的奇素数p，A