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有限P-群的中心自同构群
引言：
在有限群理论中，有限p群是一类非常重要的有限群。由于这类有限群的特殊性质，它们在代数学、数学物理学中都有着广泛的应用。本文将围绕着有限p群的中心自同构群展开讨论和探究。
一、有限p群的定义和性质
有限p群是指一个群G，满足其元素的阶数均为p的幂次方，其中p为素数。对于任意的a,b∈G，均有对应的a·b和b·a，且均属于G。由于p群的元素阶数都为p的幂次方，故p群通常是有限群。
有限p群的一个重要性质是每个p群都有非平凡的中心。中心Z(G)是指由元素a∈G构成的集合，其满足对于所有b∈G，均有ab=ba，即为G的中心。中心的定义可以进一步拓展为元素a的中心，即Z(a)={x∈G|ax=xa}。有限p群的中心往往非常特殊，尤其在p群的可解性理论中，有限p群的中心起到了重要的作用。
二、有限p群的中心自同构群
有限p群的中心自同构群Z(G)Aut(G)是指由G中所有自同构同态f构成的集合，在这个集合中任意两个自同构同态的乘积仍是一种自同构同态。对于G的中心自同构群Z(G)Aut(G)，有以下两点需要特别注意：
1.该群不一定为有限p群。
2.该群为每个元素的中心自同构群的直积。
三、有限p群的中心自同构群的例子
1.当p=2时，Z(G)Aut(G)≈Q×Q。其中Q为四元数群，为该群的Sylow-2子群在三阶同构群中的像。
2.当p=3时，Z(G)Aut(G)≈Z/3Z×Z/3Z或D8，这由3阶自同构群中的不同Sylow子群的情况所决定。
四、结论
这里我们简要介绍了有限p群以及其中心和中心自同构群的定义和性质，并给出了几个具体例子。总之，有限p群是一类非常重要且有趣的有限群，它们在许多领域都有着广泛的应用。中心自同构群则为我们更深入地了解有限p群的性质提供了新的切入点。值得注意的是，对于有限p群的研究仍然是一个非常广泛和深入的研究领域，我们只介绍了其中的一部分。