（中小学教案）高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的.doc

3.1.2空间向量的数乘运算

1．空间向量的数乘运算
(1)定义：eq\o(□,\s\up3(01))实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系

λ的范围方向关系模的关系λ>0方向eq\o(□,\s\up3(02))相同λa的模是a的模的eq\o(□,\s\up3(04))|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向eq\o(□,\s\up3(03))相反
(3)空间向量的数乘运算律
设λ，μ是实数，则有：
①分配律：λ(a＋b)＝eq\o(□,\s\up3(05))λa＋λb.
②结合律：λ(μa)＝eq\o(□,\s\up3(06))(λμ)a.
2．共线向量与共面向量
(1)共线(平行)向量

(2)共面向量

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()
(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．()
(3)如果eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，则P，A，B共线．()
(4)空间中任意三个向量一定是共面向量．()
答案(1)×(2)×(3)√(4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.
(2)已知b＝－5a(|a|＝2)，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________．
(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，则x＝______，y＝______.
(4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于________．
答案(1)－eq\f(5,7)(2)10相反(3)1eq\f(1,4)(4)eq\o(AG,\s\up6(→))
解析(4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×(2eq\o(BG,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→)).

探究1空间向量的数乘运算
例1已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．
(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))＋zeq\o(PA,\s\up6(→))；
(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).
[解](1)如图，

∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))
＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))
＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，
∴y＝z＝－eq\f(1,2).
(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，
∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，
∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq