（中小学教案）高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的.doc

3.1.3空间向量的数量积运算
学习目标核心素养1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)
3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1．通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养．
2．借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养．

1．空间向量的夹角
(1)夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，两向量垂直，记作a⊥b．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)空间两向量的数量积的性质：
垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0共线同向：则a·b＝|a|·|b|反向：则a·b＝－|a|·|b|向量数量积的性质模a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2
|a|＝eq\r(a·a)
|a·b|≤|a|·|b|夹角θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？
(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？
[提示](1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0．
(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．

1．下列各命题中，不正确的命题的个数为()
①eq\r(a·a)＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a．
A．0 B．3
C．2 D．1
D[命题①②③正确，④不正确．]
2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up7(→))＝c，则〈eq\o(A′B,\s\up7(→))，eq\o(B′D′,\s\up7(→))〉等于()
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D[△B′D′C是等边三角形，〈eq\o(A′B,\s\up7(→))，eq\o(B′D′,\s\up7(→))〉＝〈eq\o(D′C,\s\up7(→))，eq\o(B′D′,\s\up7(→))〉＝120°．]
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
eq\f(2,3)π[cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－3,3×2)＝－eq\f(1,2)．
所以〈a，b〉＝eq\f(2,3)π．]
4．在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|＝________．
eq\r(97)[eq\o(AC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，
eq\o(AC′,\s\up7(→))2＝eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AA′,\s\up7(→))2＋eq\o(AD,\s\up7(→))2＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AA′,\s\up7(→))＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(AA′,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))
＝42＋52＋32＋2×4×5×cos60°＋2×4×3×cos60°＋2×5×3×cos60°
＝16＋25＋9＋20＋12＋15＝97，
∴|AC′|＝eq\r(97)．]

空间向量的数量积运算【例1】(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝()
A．1B．2C．3D．4
(2