§5.2 平面向量的数量积及其应用.pptx

§5.2平面向量的数量积及其应用A组统一命题·课标卷题组
考点一长度与角度问题
1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量 = , = ,则∠ABC= ()
A.30°B.45°C.60°D.120°2.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|= ()
A.2B. C.1D. 3.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.考点二数量积及其应用
1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= ()
A.4B.3C.2D.02.(2014课标Ⅱ,3,5分,0.749)设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则a·b= ()
A.1B.2C.3D.53.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 ·
( + )的最小值是 ()
A.-2B.- C.- D.-1答案B设BC的中点为D,AD的中点为E,
则有 + =2 ,
则 ·( + )=2 · 
=2( + )·( - )=2( - ).
而 = = ,
当P与E重合时, 有最小值0,故此时 ·( + )取最小值,
最小值为-2 =-2× =- .
 一题多解以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,

则A(-1,0),B(1,0),C(0, ),设P(x,y),取BC的中点D,则D . ·( + )=2 · =2(-1-x,-y)
· =2 =2 .
因此,当x=- ,y= 时, ·( + )取得最小值,为2× =- ,故选B.B组自主命题·省(区、市)卷题组
考点一长度与角度问题
1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 ()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为 ()
A. B. C. D.π3.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m= ()
A.-2B.-1C.1D.24.(2014北京,10,5分,0.77)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.6.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.解析本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,
且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4,
∴|a+b|+|a-b|≥4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4.
∵ ≤ = = ,
∴|a+b|+|a-b|≤2 .
当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时a·b=0.
故当a⊥b时,|a+b|+|a-b|有最大值2 .
解法二:设x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,
得1≤x≤3.
设y=|a-b|,同理,1≤y≤3.
而x2+y2=2a2+2b2=10,
故可设x= cosθ, ≤cosθ≤ ,y= sinθ, ≤sinθ≤ .
设α1,α2为锐角,且sinα1= ,sinα2= ,
则有α1≤θ≤α2,又0<α1< <α2< ,
则x+y= (cosθ+sinθ)=2 sin ,
α1+ ≤θ+ ≤α2+ ,而 <α1+ < <α2+ < ,
故当θ+ = ,即θ= 时,x=y,此时|a+b|=|a-b|,
所以当a⊥b时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2 .
又sin =sin =  = ,
故当θ=α1或θ=α2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时a∥b,
x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4.
解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1.
则|a+b|+|a-b|= + = + = + 
= = ,
∵0≤x2≤1,故当x=0,即a⊥b时,
|a+b|+|a-b|有最大值2 ,
当x2=1,即a∥b时,|a+b|+|a-b|有最小值4.考点二数量积及其应用
1.(2018北京,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 ()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分