2021-2022学年新教材高中数学 课时检测32 直线与直线垂直（含解析）新人教A版必修第二册.doc

直线与直线垂直
[A级基础巩固]
1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是()
A．平行
B．相交
C．异面但不垂直
D．异面且垂直
解析：选D因为正方体的对面平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC(图略)，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．故选D.
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有()
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
解析：选D在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D.
3．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确的是()
A．AB与CD所在直线垂直
B．CD与EF所在直线平行
C．AB与MN所在直线成60°角
D．MN与EF所在直线异面
解析：选CD画出原正方体如图所示，
连接DN，DM，由图可知A、B错误；
AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，
所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；
显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的．
故选C、D.
4．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq\r(2)，则异面直线BD与AC所成的角为()

A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝eq\r(2)，所以∠BDE＝60°，故选C.
5．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成的角的正切值为()

A.eq\f(1,2) B．2
C.eq\f(1,4) D．4
解析：选A取A′D的中点N，连接PN，MN(图略)．因为M是A′C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A′PN为异面直线BM与PA′所成的角．在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝eq\f(A′N,A′P)＝eq\f(1,2)，故选A.
6．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条．
解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条．
答案：2
7．已知四面体A­BCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为________．
解析：设四面体A­BCD的棱长为a，直线AG交BC于E，取BD的中点F，连接EF，AF(图略)．由题意知E为BC的中点，所以CD∥EF，所以∠AEF为异面直线AG与CD所成的角．由题意知AE＝AF＝eq\f(\r(3),2)a，EF＝eq\f(1,2)a，则在△AEF中，cos∠AEF＝eq\f(\f(1,2)EF,AE)＝eq\f(\r(3),6).
答案：eq\f(\r(3),6)
8．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．

解析：与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
答案：1
9．如图，正四棱锥P­ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成的角的余弦值．

解：如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，
因为E是PC的中点，
所以OE是△PAC的中位线，
则OE綉eq\f(1,2)PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角，
设四棱锥的棱长为1，
则OE＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)，BE＝eq\f(\r(3),2)，
则cos∠OEB＝eq\f(OE2＋BE2－OB2,2OE·BE)
＝eq\f(\f(1,4)＋\f(3,4)－\f(2,4),2×\f(1,2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),3).
10．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中．

(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求证：EF⊥A1C1.
解：(1)如图所示，连接AC，AB1