时间序列分析与建模简介.docx

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时间：2021年x月x日
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第五章时间序列分析与建模简介
时间序列建模（Modellingviatimeseries）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box和Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。

引言
根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。
§5—1ARMA模型分析
一、模型类
把具有相关性的观测数据组成的时间序列{xk}视为以正态同分布白噪声序列{ak}为输入的动态系统的输出。用差分模型ARMA(n,m)为(z-1)xk=(z-1)ak式（5-1-1）
其中：(z-1)=1-1z-1-…-nz-n
(z-1)=1-1z-1-…-mz-m

离散传函
式（5-1-2）

为与参考书符号一致，以下用B表示时间后移算子
即：Bxk=xk-1B即z-1，B2即z-2…
(B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；(B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。
二、关于格林函数和时间序列的稳定性
1．格林函数Gi
格林函数Gi用以把xt表示成at及at既往值的线性组合。

式（5-1-3）

GI可以由下式用长除法求得：

例1．AR(1):xt-1xt-1=at

即：Gj=1j（显示）

例2．ARMA(1,1):xt-1xt-1=at-1at
G0=1;Gj=(1-1)1j-1,j1（显示）
例3．ARMA(2,1)
(1-1B-2B2)xt=(at-1B)at
得出：G0=1
G1=0G0-1
G2=1G1+2G0
.....
Gj=1Gj-1+2Gj-2（j2）
Gj为满足方程(1-1B-2B2)Gj=0的解，称为隐式表达式。该结论可推广到ARMA(n,m)模型。
2．格林函数与系统稳定性
当j时：Gj有界，则系统稳定；Gj衰减，则系统渐进稳定；Gj发散，则系统不稳定。
例：AR(1):Gj=1j
当<1时，Gj衰减，渐进稳定；
当=1时，Gj=1j=1，有界，则系统稳定；
当>1时，Gj发散，不稳定。

例：ARMA(2,1)
1和2和为特征方程的根，有1+2=1和12=2
当1<1且2<1时，ARMA(2,1)渐进稳定；当1=1且2<1或1<1且2=1时，ARMA(2,1)稳定；
当1=2且或1=2（两根同号）时，不稳定。由此得出ARMA(2,×)的稳定域如下图所示。

ARMA(2,m)的稳定域

三、逆函数与逆稳定性
逆函数Ij表示xt的既往值对当前值的影响，与格林函数Gj表示既往的at值对xt的影响正相反。

定义：

即：

或：at=(1-I1B-I2B2-…)xt
at格林函数xt

xt逆函数at

系统逆稳定的条件是(B)的根<1（落在单位园内）。合理的模型不仅要求是稳定的，也要求是逆稳定的，因为如果>1，即意味着过时愈久的xt的老数据对xt的现在值影响愈大，这显然是不合理的。
5.自协方差函数与偏自相关函数及其截尾性(略)

§5—2时间序列建模及其应用
一、关于吴宪民andPandit的建模策略简介
ARMA(n,m)模型,当n和m设定后,可由非线心、非线性最小二乘法估计参数,并计算出残差平方总和(R.S.S.)。设定不同的n和m值，用F检验比较R.S.S.，确定合理的n、m值。
穷举法（最笨的建模策略）：高阶模型要做很多次搜索，计算量大。

吴宪民—Pandit建模策略
目的是减少建模的搜索次数。策略可概括为：
10.按照ARMA(2n,2n-1)拟合模型，即当nn+1时，模型增加2阶，理由是过程的基点往往是成对的。
20.检查ARMA(2n,2n-1)模型的高阶项参数2n和2n-1的绝对值是否很小，它们的置信区间是否包含零在内？若是，则进一步拟合下降一阶后的模型ARMA(2n-1,2n-2)，并用F检验检查。
30.探索进一步降低