(完整版)n维向量与向量空间.ppt

第三章n维向量与向量空间§1n维向量数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。定义2如果和对应的分量都相等，即
ai=bi，i=1,2,…,n
就称这两个向量相等，记为。定义4分量全为零的向量
（0，0，…，0）
称为零向量，记为0。与-1的数乘
（-1）=（-a1,-a2,…,-an）
称为的负向量，记为。满足（1）—（8）的运算称为线性运算。矩阵与向量的关系：
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行向量组可以排列成一个s×n分块矩阵定义5向量组称为线性相关的，如果有不全为零的数k1,k2,…,ks，使当为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵，使例3判断向量组例5设向量组线性无关，，
，，试证向量组也
线性无关。也可用矩阵形式表示：若所给向量均为行向量，则有定理1向量组（s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。例如，向量组定理2设向量组线性无关，而向量组
线性相关，则能由向量组
线性表出，且表示式是唯一的。设定理3有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关。定理4设p1,p2,…,pn为1，2，…，n的一个排列，
和为两向量组，其中上两式只是各分量的排列顺序不同，因此(2)如果线性无关，
那么也线性无关。利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。推论n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的行（列）向量组线性无关.定义7如果向量组中每个向量都可以由
线性表出，就称向量组可由
线性表出，如果两个向量组互相可以
线性表出，就称它们等价。向量组中每一个向量都可以经向量组
线性表出。因而，向量组
可以经向量组线性表出。向量组的等价具有下述性质：定理8如果向量组可由线性表出且r>s，那么线性相关。定义8一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。定义8'一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。定义9向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。返回返回§5向量空间定义11如果V1和V2都是向量空间且,就称V1是V2的子空间。如果把向量空间V看作向量组，那么V的基就是它的极大线性无关组，V的维数就是它的秩。当V由n维向量组成时，它的维数不会超过n。例19设且存在有限个初等矩阵P1，P2，…，Pl，使得
P1P2…PlA=E,(1)
则A-1=P1P2…Pl（１）说明A经过有限次初等行变换变成E返回所以