n维向量空间.docx

§4.1n维向量
定义1个有次序的数所组成的数组称为维向量,这个数称为该向量的个分量,第个数称为第个分量.
维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.
向量常用黑体小写字母等表示,
即维列向量记为,维行向量记为.
行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.
例设
(1)求;(2)若有,满足求
解（1）
（2）由得

在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象.引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量.因此，当时，维向量可以把有向线段作为其几何形象.当时，维向量没有直观的几何形象.
§4.2向量组的线性相关性
1、向量组的概念
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.
例如，一个矩阵
每一列组成的向量组称为矩阵的列向量组，
而由矩阵的的每一行组成的向量组称为矩阵的行向量组.
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。
2、线性组合与线性表示
定义2给定向量组，对于任何一组实数,表达式称为向量组的一个线性组合,称为这个线性组合的系数.
给定向量组和向量,若存在一组数使

则称向量是向量组的线性组合,又称向量能由向量组线性表示(或线性表出).
例设由于,因此是的线性组合.
例2维向量组

称为维单位坐标向量组，任意一个维向量都能由它们线性表示。
如何判断向量能由向量组线性表示？
定理1向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩.
例判断向量与是否各为向量组的线性组合.若是,写出表示式.
解设对矩阵施以初等行变换:

易见，秩秩故可由线性表示，且由上面的初等变换可取使类似地，对矩阵施以初等行变换:

易见,秩秩故不能由线性表示.
3、向量组的线性相关性
(一)、线性相关性概念
定义3给定向量组如果存在不全为零的数使则称向量组线性相关,否则称为线性无关.
注:①包含零向量的任何向量组是线性相关的;
②向量组只含有一个向量时，则
（1）的充分必要条件是是线性无关的；
（2）的充分必要条件是是线性相关的；
③仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；
④两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线,三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.
例1设有3个向量(列向量):

不难验证因此是3个线性相关的3维向量.
(二)、线性相关性的判定
容易看出：向量组线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.
向量组构成矩阵，向量组的线性相关就是齐次线性方程组有非零解。
定理2向量组线性相关的充要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量的个数；向量组线性无关的充要条件是
例5讨论维单位坐标向量组

的线性相关性.
解维单位坐标向量组构成的矩阵

是知，即等于向量组中向量的个数,故此向量是线性无关的.
例已知试讨论向量组及的线性相关性.
解
故向量组线性相关;因前两个向量构成的矩阵的秩为2等于向量的个数，所以，向量组线性无关.
例判断下列向量组是否线性相关:

解对矩阵施以初等行变换化为阶梯形矩阵:

秩所以向量组线性相关.
例9证明：若向量组线性无关,则向量组亦线性无关.
证设有一组数使
（1）
成立，整理得
由线性无关，故
（2）
因为时（1）式才成立.因而向量组线性无关.
定理(1)相关向量组增加向量后仍然相关，线性无关的向量组减少向量后仍然线性无关.
（2）无关向量组的每个向量增加分量后仍然线性无关.相关向量组减少分量后仍然相关
（3）当向量组的维数小于向量的个数时,此向量组必线性相关.
（4）若向量组线性无关，而向量组线性相关,则向量可由线性表示，且表示是唯一的
§4.3向量组的秩
一、两个向量组的等价
定义4设有两向量组

若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组AA与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.
按定义,若向量组B能由向量组A线性表示,则存在

使
所以

其中矩阵称为这一线性表示的系数矩阵.
若则矩阵的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示,为这一表示的系数矩阵.
而矩阵的行向量组能由的行向量组线性表示,为这一表示的系数矩阵.
所以，矩阵经初等行变换变为矩阵，则矩阵的行向量组与矩阵行向量组等价；矩阵经初等列变换变为矩阵，则矩阵的列向量组与矩阵列向量组等价。
二、极大线性无关组
定义5设有向量组若在向量组中能选出个向量,满足
(1)向量组线性无关;
(2)向量组中任意个向量(若有的话)都线性相关.
则称向量组是向量组的一个极大线性无关组(简称为极大无关组).
注:含有零向量的向量组没有极大无关组
例全体维向量构成的向量组记作,求的一个极大无关组.
解因为维单位坐标向量构面的向量组是线性无关的，又