经典复变函数与积分变换复数.ppt

第一章复数与复变函数复变函数与积分变换及应用背景的概念,从而建立了复变函数理论.(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.变换应用于频谱分析和信号处理等.变换应用于控制问题.主要内容§1.1-1.2复数及其表示式1.1.1复数的概念显然,z=x+iy是x-yi的共轭复数,即1.1.2复数的四则运算(2)复数的积2.结合律解例1.2例1.3设z1,z2是两个复数,证明给定一复数z=x+yi,在坐标平面XOY上存
在惟一的点P(x,y)与z=x+yi对应.反之,对XOY
平面上的点P(x,y),存在惟一的复数z=x+yi与它
对应.根据复数的代数运算及向量的代数运算
的定义知这种对应构成了同构映射.因此可以
用XOY平面上的点表示复数z.显然,实数与x轴上的点一一对应,而x轴以外的点都对应一个虚数,纯虚数与y轴上的点(除原点)对应.因此,称x轴为实轴,y轴为虚轴.这时复数加、减法满足向量加、减法中的平
行四边形法则.如果点P不是原点(即),那么把x轴的正向与向量的夹角q称为复数z的辐角,记做Argz.有时,在进行说明后,把主辐角定义为满足当时,有利用直角坐标与极坐标之间的关系例1.4将下列复数化为三角表示式与指数表示式.2)显然,r=|z|=1,又例1.5当复数和与差的模的性质1.1.4乘幂与方根于是两个复数相乘的几何意义利用数学归纳法可以证明：如果如果写成指数形式，即如果称为DeMovie公式（棣摩弗公式）.则方根,记做或如果满足以上三式的充分必要条件是由三角函数的周期性可见,除w0,w1,···,wn-1外,均是重复出现的,故例1.6求方程w4+16=0的四个根.w1,w2,w3,w4恰好是以原点为圆心、半径为2的圆例1.7求即例1.8设§1.3平面点集的一般概念1.3.1区域满足不等式|z|>R(R>0)的一切点(包括无穷
远点)的集合称为无穷远点的邻域.3.外点即对任意的r>0,存在z1,z2B(z0,r),满足例1.9设z0是定点,r>0是常数,则z0为中心,
以r为半径的圆的内部点,即满足不等式|z-z0|<r
的一切点z所组成的点集(z0的r邻域)是开集.在圆周|z-z0|=r和圆周|z-z0|=R上的点都是点
集r<|z-z0|<R和r<|z-z0|R的边界点.(2)D内的任何两点z1和z2都可以用一条完全
在D内的折线,把z1和z2连接起来(具有这个性质
的点集叫做连通的).为闭区域,记做1.3.2Jordan曲线、连通性曲线C在复平面上的参数方程不仅确定了
曲线的形状,实际上还给出了曲线的方向,也就
是说,曲线是沿着t增加的方向变化的.对曲线C的参数方程如果曲线C:z=z(t)(atb)除起点与终点外无
重点,即除t1=a,t2=b之外,如果t1t2,有z(t1)z(t2),
则称曲线C是简单曲线.下列曲线是否为简单闭曲线?关于曲线方向的说明:Jordan曲线C有两个方向,当点z沿着C的
一个给定方向变化时,若C的内部出现在点z前
进方向的左侧,就规定这个方向是正的;否则
就说是负的.对于圆周曲线可以简单地说,逆时针方向
为曲线的正向,顺时针方向为曲线的负向.(3)单连通区域与多连通区域例1.11指出下列不等式所确定的点集,是否有
界?是否区域?如果是区域,单连通的还是多连通的?是角形域,无界的单连通域(如图).表示到1,–1两点的距离之内部.这是有界集,但不是区域.例1.12满足下列条件的点集是否区域?如果
是区域,是单连通区域还是多连通区域?它是多连通区域.复数可以用平面上的点表示，这是复数的几
何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示
复数.球面上的点,除去北极N外,与复平面内
的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面
上的点来表示复数.规定:复数中有一个唯
一的“无穷大”与复平面上
的无穷远点相对应,记作.对于复数的无穷远点而言,它的实部、虚部,
辐角等概念均无意义,规定它的模为正无穷大.§1.5复变函数的极限与连续1.5.1复变函数的定义是定义在C\{0}上的多值函数.例如:w=z2是一个复变函数.令反函数的定义定义1.2设复变函数w=f(z)在z0的某个去心
邻域内有定义,A是复常数.若对任意给定的e>0,
存在d>0,使得对一切满足0<|z-z0|<d的z,都有例1.13当z0时,函数定义1.3设f(z)在z0的邻域内有定义,且定理1.1设又有不等式例1.14设复变函数f(z)在点z0连续，并且
f(z0)0,则存在z0的某个邻域，使f(z)在此邻域
内恒不为0.定理1.2设由前面的结论可知,多项式定理1.4设f(z)在有界闭区域(或有限复数复变函数1.复数运算和各种表示法第一章完LeonhardEuler时,双目失明.Euler完全失明以后，仍然以惊人生于法国,1688年移居