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《复变函数》

第一章复数与复变函数
§1．复数及其代数运算
复数：z=x+iy，i=−1——虚数单位．x=Re(z)——实部，y=Im(z)——虚部．

两复数相等是指实部、虚部分别相等．复数间不能比较大小．

复数的代数运算：z1=x1+iy1,z2=x2+iy2．

加法：z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)；减法：z1−z2=(x1−x2)+i(y1−y2)；
zzzxx+yyxy−xy
1=12=1212+i2112,(z≠0)
乘法：z1⋅z2=(x1x2−y1y2)+i(x2y1+x1y2)；除法：22222．
z2z2z2x2+y2x2+y2
复数的运算满足交换律、结合律和分配律．

共轭复数：z=x+iy，z=x−iy．满足：

⎛z⎞z
⎜1⎟1
(1)z1±z2=z1±z2,z1z2=z1⋅z2,⎜⎟=；(2)z=z；
⎝z2⎠z2

22
(3)z⋅z=x+y；(4)z+z=2x，z−z=2iy．
−13i
例1．设z=−，求Re(z)，Im(z)与z⋅z．
i1−i

(−1)(−i)3i(1+i)⎛−33⎞313−1915
解：z=−=i−⎜+i⎟=−i，Re(z)=，Im(z)=，zz=+=．
i(−i)(1−i)(1+i)⎝22⎠2222442

§2．复数的几何表示
1．复平面y
一一对应
平面上建立直角坐标系xoy，这样(1)z=x+iy←⎯→⎯⎯(x,y)．z
x轴――实轴，y轴――虚轴．两轴所在平面称为复平面．y
(2)复数z=x+iy可用从原点指向点(x,y)的向量表示．r
22
z的摸：z=r=x2+y2．zz=z=z．1θ
辐角：当z≠0时，向量z与x轴正向的交角θ，记Argz=θ．ox
tg(Argz)＝y．1
x

辐角主值：Argz的主值argz=θ0，满足−π<θ0≤π．这样，Argz=argz+2kπ,(k∈Z)．
注：当z=0时，辐角不定．
复数的加减法运算与向量的加减法法则一致．
(3)三角表示法：z=r(cosθ+isinθ),r=z,θ=Argz．

iθiθ22
(4)指数表示法：z=re,r=z,θ=Argz,e=cosθ+isinθ=cosθ+sinθ=1．

例1．将z=1−i3化成三角表示式和指数表示式．
−π
解：r=z=1+3=2,tg(argz)=−3,argz=．
3

−πi
⎛−π−π⎞3
∴z=2⎜cos+isin⎟,z=2e．
⎝33⎠
平面曲线F(x,y)=0可用复数形式的方程表示，且一些常见曲线用复数形式表示时形式简单．

例2．将直线方程x−2y=3化为复数形式．

11
解：x=(z+z),y=()z−z，代入方程得：(1+2i)z+(1−2i)z=6．
22i
例3．求下列方程所表示的曲线：

(1)z−1−i=1；(2)Im(i+z)=4．

22
解：(1)z=x+iy，方程变为：(x−1)+(y−1)i=1．即(x−1)+(y−1)=1——圆．

(2)设z=x+iy，则Im(i+z)=Im[]x+(1−y)i=1−y=4，即y=−3——直线．
yyx
2o
−1
1−2
x−3y=−3

o12
2．复球面（略）．

§3．复数的乘幂与方根

iθ1iθ2
设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1e，z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2e，则

iθ1
z1r1er1i()θ1−θ2
iθ1iθ2i()θ1+θ2==e
z1z2=r1e⋅r2e=r1r2e；iθ2．
z2r2er2

iθnninθ
若z=r(cosθ+isinθ)=re，z的n次幂：z=re；

i(θ+2kπ)
又z=r[cos(θ+2kπ)+isin(θ+2kπ)]=re，z的n次方根：

i(θ+2kπ)
nn⎡θ+2kπθ+2kπ⎤nn
wk=z=r⎢cos+isin⎥=re，(k=0,1,,n−1)．
⎣nn⎦

10
例1．求(1−i)．

－πi10−10πi−πi
41042
解：1−i=2e，(1−i)=()2e=32e=−32i．

3
例2．求1−i．
ππ
解：∵1−i=2[cos(2kπ−)+isin(2kπ−)]，
44
61π1π
∴31−i=2[cos(2kπ−)+isin(2kπ−)]，(k=0,1,2)．
3434

6ππ7π7π615π15π
即w=2(cos−isin)，w=62(cos+isin)，w=2(cos+isin)．
012121121221212

§4．区域
1．区域

邻域：U(z0,δ)={z∈Cz−z0<δ}(δ>0)；

去心邻域：U(zˆ0,δ)={z∈C0<z−z0<δ}；δ.Z0
区域：连通的开集称为区域．
区域D的边界点P、边界∂D．区域的边界可能由