数值分析8 直接法的误差分析.doc

§6直接法的误差分析
直接法的误差原因：1．算法及舍入原因
2．方程组本身固有的问题
要分析方程组的状态并估计算法的误差（原始数据扰动对解的影响）——量度：矩阵的条件数
【引例】设方程组
a=[26;26.00001];b=[8,8.00001]';a\b

对系数矩阵和右端项作微小变化：

a=[26;25.99999];b=[8,8.00002]';a\b

设线性方程组为
Ax=b…………………（1）
其中A∈Rn×n,x,b∈Rn且A非奇异。x*：准确解，δx：解的误差，即
…………………（2）
δA--A的误差，δb--b的误差。讨论δx与δA，δb的关系
一、b有误差而A无误差情形
将带有误差的右端项和带误差的解向量代入方程组，则
…………………（3）
由于，而得到,从而
另一方面，由(1)式取范数，有
可得
【定理1】设A是非奇异矩阵，Ax=b≠0,且A（x*+δx）=b+δb则有误差估计式
…………………（4）
其中称为方阵A的条件数。
说明：1、解的相对误差是右端项b的相对误差的cond(A)倍
2、如果条件数很大，则解的误差将成倍增长。
【定义】称条件数很大的矩阵为“病态”矩阵；称病态矩阵对应的方程组为病态方程组。反之，则称A为良态矩阵。
二、A及b都有误差的情形
【引理】若
证：（1）反证法，假设E+B奇异，
则存在非零向量x,使得(E+B)x=0，则
与己知予盾，从而E+B非奇异。
（2）

【定理2】
设在方程组Ax=b中，A及b都有误差，且，则有

证：带有误差的方程组为
…………………（5）
由于，因而
…………………（6）
为从（6）式中解出δx，必须限定（A+δA）-1存在。从而
…………………（7）
利用，得到
…………………（8）
又由引理知，当时
…………………（9）
对（7）式取范数，并由（8）、（9）式得到
………………（10）
从而由及（10）式，有
……………（11）
注：仅A或b有误差是（11）式中δb=0或δA=0的特例。

【例1】已知方程组Ax=b中

若δb=（-0.001,0.001,-0.001）T时，估计解的相对误差。
解:
a=[1/21/31/4;1/31/41/5;1/41/51/6];
cond(a,inf),
b=[13/12;47/60;37/60]*100;norm_b=norm(b,inf)
detb=[-0.001;0.001;-0.001];norm_detb=norm(detb,inf)
norm_detb/norm_b%b的相对误差

由于有误差估计

比右端项的相对误差，扩大了2015倍。
验证：1)方程组的解:
a=[1/21/31/4;1/31/41/5;1/41/51/6];
b=[13/12;47/60;37/60]*100;x=a\b
2)对右端项加扰动δb=（-0.001,0.001,-0.001）T，则解受到影响:
b=[13/12-0.00001;47/60+0.00001;37/60-0.00001]*100;x1=a\b
3)解的相对误差:
norm(x-x1,inf)/norm(x,inf)
三、常用的条件数及其性质

1.当A=AT时，;
2.当A对称正定时，
3.cond(A)≥1,cond(A)=cond(A-1),cond(cA)=cond(A)(c≠0,c∈R)
4.若U为正交矩阵，即UTU=I，则cond(U)2=1
cond(A)2=cond(UA)2=cond(AU)2
病态方程组的判别设Ax=b，A∈Rn×n,且A非奇异
当cond(A)>>1,则Ax=b是病态方程组（坏条件的，A是病态的）
当cond(A)相对较小时,则Ax=b是良态方程组（好条件的，A是良态的）
【例】设在引例方程组中，b有扰动=(0，0.00001)T，试计算cond(A)∞，并说明对解向量x的影响。
a=[26;26.00001];
%inv(a),norm(a,inf)*norm(inv(a),inf)
cond(a,inf)

病态方程组的解法：
采用高精度的算术运算
采用预处理方法，改善条件数
行或列平衡方法，改善条件数
用矩阵的奇异值分解。
【例2】设试验证其为病态方程组，且对其作预处理Pax=Pb使cond(PA)<<cond(A).
解：（1）用MATLAB函数求解方程组
a=[129;300020001000;0.0000040.0000030.000002];
b=[120000.000003]';x=a\b

对a33,b3加小扰动为1/106数量级，此时解为
a=[129;300020001000;0.0000040.0000030.000003];
b=[120000.000004]';x