微分方程的积分因子求解法.doc

常微分方程的积分因子求解法

内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法,并推广到较一般的形式。

关键词:全微分方程,积分因子。

一、基本知识
定义１.1对于形如
(1。1)
的微分方程,如果方程的左端恰是,的一个可微函数的全微分，即＝,则称（1。1）为全微分方程．
易知,上述全微分方程的通解为=，（为任意常数）.
定理1．１（全微分方程的判别法）设,在,平面上的单连通区域内具有连续的一阶偏导数,则（1.1)是全微分方程的充要条件为
(１.2)
证明见参考文献［1］。
定义1。２对于微分方程（１。1），如果存在可微函数,使得方程
（1．3)
是全微分方程,则称为微分方程(1。１)的积分因子。
定理1。２可微函数为微分方程(１。1)的积分因子的充要条件为
—=(1。４）
证明：由定理1.１得，为微分方程(1.1)的积分因子的充要条件为
，展开即得:
—=。
上式整理即得(1.４)。证毕
注1．1若，则(1。3)和（1。1)同解．所以，欲求(１。1)的通解,只须求出(1．3)的通解即可，而（１。３)是全微分方程,故关键在于求积分因子。
为了求解积分因子,必须求解方程（1.4）。一般来说,偏微分方程(1。4）是不易求解的;但是,当具有某种特殊形式时还是较易求解的。
二、特殊形式的积分因子的求法
情况1当具有形式时,方程(1．４)化为
=，
即=
于是得到:
定理2。1微分方程（1。1)具有形如的积分因子的充要条件为

只是的连续函数，不含。此时易得，.
类似地
定理2。２微分方程（1。1)具有形如的积分因子的充要条件为

只是的连续函数,不含。并且,。
例2。1求的通解.
解:因=，故。
方程两边同乘以得,
即,故通解为=,
即,（为任意常数).
情况2如果(1.1)具有形如的积分因子,令,则=.由(１。4）得
=，
于是得到:
定理2。３微分方程(1.1)具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数,此时积分因子为
，(为任意非零常数)。
例2。2求的积分因子。
解：因=
故方程具有形如的积分因子,取得，=．
情况3如果(1。1)具有形如的积分因子，令,则＝。由(1.4)得
=,
于是得到:
定理２。4微分方程(1。１)具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数,此时积分因子为
,（为任意非零常数).
例2.３求的积分因子.
解：因＝,
故方程具有形如的积分因子，取得=。
情况４一般地,如果方程(1。1）具有形如的积分因子,令，则。由（１.４)得
＝，
于是得到
定理２．5微分方程(1。1）具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数，此时积分因子为,（为任意非零常数）。
类似地，我们有
定理2.6微分方程（1.1)具有形如的积分因子的充要条件为只是的连续函数,此时积分因子为,（为任意非零常数)。
例2。4求的积分因子。
解:由,
＝，
易知,欲使上式仅是的函数,只须等于常数即可。为此,令,,得，。此时=-１。取得。
三、一般理论
定理3。1如果是微分方程(1.1)的积分因子，(1。1)乘以后得到(１。3)。设(１。3）的左端为，则仍是(1。1)的积分因子.其中，是任何可微函数。
定理3。2在（1.１)中，若和在长方形区域上连续,且在上处处不为零。对于(1。１）的任何两个在上处处连续且恒不为零的积分因子，(从而,在上不变号),设
。
则在内任一点,可定出一邻域,在此邻域内,只是的函数.
上述两定理的证明可参见参考文献[３］。
注３。1由定理3.１和定理3。2即知，设是（1．1）的积分因子，（1。3)的左端为,则（1。１）的积分因子通式为.其中，是任何可微函数.
例３。１求的积分因子及通解.
解：重新组合:,
对于前一个括号内可求得一个积分因子，乘之得。故前一个括号内可取积分因子通式为.
同样可得后一个括号内的积分因子通式为.
下面求出,，使得＝。设，，即有=,于是得，解得,。从而即得原微分方程的一个积分因子为,用乘以方程的两边可求得通积分为，(为任意常数）．