一阶微分方程积分因子探讨.docx

一阶微分方程积分因子的求法探讨
数学与信息科学学院数学与应用数学专业
指导教师：郑丽丽职称：教授
摘要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法．
关键词：一阶微分方程；积分因子

TheSolutionof IntegralFactorfortheFirstOrderOrdinaryDifferentialEquation
Abstract：Thispaperhasmadeaspecialefforttostudyhowtoquadrateintegralfactorsdirectlyandefficiently．Whenthedifferentialequationsmeetsomeconditions，therefore，thecommonmethodwecangetfromit．
KeyWords：thefirstorderordinarydifferentialequation；integralfactor
０前言
一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求．这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若干特殊类型的积分因子的求法．
1积分因子的定义
若对于一阶微分方程
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在矩形域内是SKIPIF1<0的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数SKIPIF1<0，使得
SKIPIF1<0，
为一恰当方程，即存在函数SKIPIF1<0，使
SKIPIF1<0．
则称SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的积分因子．
通过计算可得，函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0积分因子的充要条件为：
SKIPIF1<0，
即
SKIPIF1<0SKIPIF1<0
这是个以SKIPIF1<0为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程SKIPIF1<0来求积分因子通常很困难，但在若干特殊情况下，求积分因子还是容易的，下面总结了几种可以方便求出特殊类型的积分因子的方法．
2积分因子存在的充要条件
定理1SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0具有形如SKIPIF1<0的积分因子的充要条件为：
SKIPIF1<0．
证明因为SKIPIF1<0有积分因子的充要条件为
SKIPIF1<0．
令SKIPIF1<0，则有
SKIPIF1<0，
即
SKIPIF1<0．
并由此得出其积分因子为
SKIPIF1<0．
根据这个定理可以得出以下特殊类型的积分因子的充要条件．
2.1具有SKIPIF1<0形式的积分因子SKIPIF1<0
方程SKIPIF1<0具有特殊因子SKIPIF1<0的充要条件为
SKIPIF1<0，
这里SKIPIF1<0仅为SKIPIF1<0的函数．于是积分因子为SKIPIF1<0．
例1SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的积分因子．
解因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，
于是积分因子为SKIPIF1<0．
2.2具有SKIPIF1<0形式的积分因子SKIPIF1<0
方程SKIPIF1<0具有特殊因子SKIPIF1<0的充要条件为
SKIPIF1<0，
这里SKIPIF1<0仅为SKIPIF1<0的函数．于是积分因子为SKIPIF1<0．
例2SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的积分因子．
解因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，
于是积分因子为SKIPIF1<0．
2.3具有SKIPIF1<0形式的积分因子SKIPIF1<0
方程SKIPIF1<0具有特殊因子SKIPIF1<0的充要条件为
SKIPIF1<0．
例3SKIPIF1<0求方程SKIPIF1<0的积分因子．
解因为
SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，
且SKIPIF1<0，只与SKIPIF1<0有关，于是有积分因子
SKIPIF1<0．
2.4具有SKIPIF1<0形式的积分因子SKIPIF1<0
方程SKIPIF