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求一阶微分方程积分因子的一些方法

付开祥指导老师：李拓
（河西学院数学与统计学统计学院甘肃张掖734000）

摘要本文给出了求一阶微分方程积分因子的一些方法，从而解决了求某些一阶微分方程通解的问题．对一些特殊类型的方程分别给出了求积分因子的特殊方法，并给出实例说明用积分法求解微分方程的具体方法．
关键词恰当方程；积分因子；分组组合法；比较系数法；待定系数法．
中图分类号H007.1

Forfirstorderdifferentialequationofintegralfactorsomemethods
Abstract:Thisarticlegivesanewdefinitionofcomplexintegratingfactoraboutfirstorderordinarydifferentialequationandanewexistencetheoremofatypeofintegralfactorandcalculationformual,andtheresuctinthispaperamplifiestheconclusionsintherelevantreference．
Keywords:Properlyequation；Integralfactor；Groupgrouplegal；Morecoefficientmethod；Undeterminedcoefficientmethod．

1引言
对于一个恰当微分方程可以通过积分的方法求出它的通解，而一个非恰当微分方程是不能通过积分求解的，因此能否将一个非恰当常微分方程转化为一个恰当微分方程就有很大意义．1,2,3给出了积分因子的定义和求法．
定义1我们可以将一阶方程
SKIPIF1<0
写成微分方程的形式
SKIPIF1<0(1)
如果方程(1)左端恰好是某个二元函数SKIPIF1<0的全微分，
即
SKIPIF1<0
则称该方程为恰当微分方程．
定义2如果存在连续可微的函数SKIPIF1<0，使得
SKIPIF1<0
为一恰当微分方程，则称SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的积分因子．
引理SKIPIF1<0方程(1)有只与x有关的积分因子的充要条件是
SKIPIF1<0，
且积分因子为SKIPIF1<0．
引理SKIPIF1<0方程(1)有只与y有关的积分因子的充要条件是
SKIPIF1<0，
且积分因子为SKIPIF1<0．
本文将给出求一阶微分方程积分因子的另外一些方法，从而使解决求某些非恰当微分方程通解的问题简单化．

2主要结论及其证明
定理SKIPIF1<0若方程性SKIPIF1<0有两个积分因子SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不恒等于常数，则该方程的通解为=SKIPIF1<0（c任意常数）．
证明SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的积分因子，故可求得可微函数SKIPIF1<0，使得
SKIPIF1<0
则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解．
根据结论，我们得到
SKIPIF1<0
这里SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的可微函数．
由上式可得SKIPIF1<0，
即
SKIPIF1<0
由于我们已经知道SKIPIF1<0SKIPIF1<0是方程的解．
故
SKIPIF1<0
也是方程SKIPIF1<0的解．变形上式后，
SKIPIF1<0，
这就证明了SKIPIF1<0是方程
SKIPIF1<0
通解．
定理SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0具有形如SKIPIF1<0的积分因子的充要条件是SKIPIF1<0．
证明必要性若方程有形如SKIPIF1<0的积分因子，则
SKIPIF1<0
是恰当微分方程．
从而
SKIPIF1<0
令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,
所以SKIPIF1<0变形为
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
即
SKIPIF1<0
因此
SKIPIF1<0．
充分性显然成立．
所以，当SKIPIF1<0时，可以求出SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0具有形为SKIPIF1<0的积分因子的充要条件为
SKIPIF1<0．
定理SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0具有形如SKIPIF1<0的积分因子的充要条件是SKIPIF1<