2023—2024学年上海市高三上学期开学考数学试题(含答案).pdf

2023-2024学年上海市高三上册开学考数学试题

一、填空题（本大题共12小题，满分54分，前6小题每题4分，后6小题每题5分）

1．不等式|x2|3的解集是.

2．若a3,3，b1,2，则ab．

3．若数列a为首项为3，公比为2的等比数列，则S．
n7

4．已知tan3，则cos2．

2x,x0
5．已知函数fx，则fx的值域为．
1,x0

6．已知复数z2i，则1iz．

7．已知圆x2y24ym20的面积为π，则m．

8．ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3，c2，ABC的面积为2sinB，

cosA．

9．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若

这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则xy．

10．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切

面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为1，
2

则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为．

11111
11．已知当x,时，有12x4x2…2xn…，若对任意的x,都有
2212x22
x
aaxaxn
……，则a.
1x312x01n9
12．若函数fxax33ex2023aR有且仅有一个极值点，则a的取值范围是．

二、选择题（本大题共4小题，前2小题4分，后2小题5分，满分18分）

13．观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序

相对应的是（）．

A．①②③B．②①③C．①③②D．③①②

14．已知集合Axx21，集合BxxZ且x1A，则B（）

A．1,0,1B．{2,1,0}C．{2,1,0,1}D．{2,1,0,1,2}

1π
15．已知函数fxAsin2x（A0，0）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线
22
ππ
x对称，若对于任意的x0,，都有m23mfx，则实数m的取值范围为（）
122
3
A．1,B．[1，2]
2

33333
C．,2D．,
222


16．关于曲线C:x2xyy24，给出下列四个结论：

①曲线C关于原点对称，但不关于x轴，y轴对称；

②曲线C恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

③曲线C上任意一点到原点的距离都不大于22；

④曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2．

其中，正确结论的个数是（）．

A．1B．2C．3D．4

三、解答题（本大题满分78分）

17．如图，在三棱柱ABC-ABC中，AA底面ABC，ACAB，ACAB4，AA6，
11111111

点E，F分别为CA与AB的中点
1
(1)证明：EF//平面BCCB．
11

(2)求BF与平面AEF所成角的正弦值．
1

a2x1
18．已知奇函数fx的定义域为a2，b.
2x1
(1)求实数a,b的值；

(2)当x1，2时，2mfx2x0恒成立，求m的取值范围.

19．某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专

业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过

252
的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中0m1，
363

技能测试是否通过相互独立．
2
(1)若m，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
3
(2)若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，若以专业技能测试通

过项目数的数学期望为决策依据，该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围．

y2
20．已知抛物线y22pxp0的焦点F恰为椭圆x21a1的一个顶点，且抛物线的通径
a2
（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.

（1）求抛物线及椭圆的标准方程；

（2）过点F作两条直线l，l，且l，l的斜率之积为1.
1212
11
①设直线l交抛物线于A，B两点，l交抛物线于C，D两点，求的值；
12ABCD

②设直线l，l与椭圆的另一个交点分别为M，N.求FMN面积的最大值.
12
lnxx
21．已知函数fx和gx