辽宁省凌海市石山初级中学八年级数学上册《第七章3 平行线的判定》讲解与例题 （新版）北师大版.doc

《第七章3平行线的判定》讲解与例题

1．平行线的判定公理
(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．
如图，推理符号表示为：
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD.

谈重点同位角相等，两直线平行
①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．
(2)平行公理的推论：
①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；
②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.
【例1】工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？
解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．

答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．
2．平行线的判定定理
(1)判定定理1
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单记为：同旁内角互补，两直线平行．
符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，
∴AB∥CD.

谈重点同旁内角互补，两直线平行
①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．
(2)判定定理2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单记为：内错角相等，两直线平行．
符号表示：如上图，
∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.
【例2－1】如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．

解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．
答案：内错角相等
【例2－2】如图，下列说法中，正确的是()．

A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BC
B．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CD
C．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CD
D．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD
错解：A或B或D
错解分析：判定直线平行所需要的内错角或同旁内角找不准．条件不能推出结论.正解：C
正解思路：∠A与∠D是直线AB和CD被直线AD所截得到的同旁内角．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CD.
3．平行线的判断方法
平行线的判定方法主要有以下六种：
(1)平行线的定义(一般很少用)．
(2)同位角相等，两直线平行．
(3)同旁内角互补，两直线平行．
(4)内错角相等，两直线平行．
(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．
(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
析规律如何选择判定两直线平行的方法
①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；
②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．
【例3】如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.

解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．
若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；
若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个；
若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；
从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．
答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°…

4．平行线判定的应用
(1)平行线的生活应用
数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的