辽宁省凌海市石山初级中学八年级数学上册《第二章3 立方根》讲解与例题 （新版）北师大版.doc

《第二章3立方根》讲解与例题1．立方根的概念及表示方法(1)立方根的概念：如果一个数x的立方等于a即x3＝a那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)．如23＝8那么2就叫做8的立方根由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(32)))3＝－eq\f(278)所以－eq\f(32)叫做－eq\f(278)的立方根．(2)立方根的表示方法：a的立方根可表示为“eq\r(3a)”读作“三次根号a”其中“3”是根指数“a”是被开方数．要注意这里的根指数“3”不能省略．例如：2的立方根可表示为eq\r(32).哦判断一个数x是不是某数a的立方根就看x3是不是等于a.对啊!求一个数的立方根应先找到一个立方等于所求数的数再求立方根.【例1－1】求下列各数的立方根：(1)8；(2)－125；(3)eq\f(127)；(4)－0.064；(5)0；(6)－6.解：(1)因为23＝8所以8的立方根是2即eq\r(38)＝2.(2)因为(－5)3＝－125所以－125的立方根是－5即eq\r(3－125)＝－5.(3)因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)))3＝eq\f(127)所以eq\f(127)的立方根是eq\f(13)即eq\r(3\f(127))＝eq\f(13).(4)因为(－0.4)3＝－0.064所以－0.064的立方根是－0.4即eq\r(3－0.064)＝－0.4.(5)因为03＝0所以0的立方根是0即eq\r(30)＝0.(6)－6的立方根是eq\r(3－6).谈重点化简立方根完全立方数的立方根是可以化简的如(1)～(5)；非完全立方数的立方根是不可以化简的只需表示出来即可如(6)．【例1－2】下列语句正确的是()．A．eq\r(64)的立方根是2B．－3是27的立方根C．eq\f(125216)的立方根是±eq\f(56)D．(－1)2的立方根是－1解析：A√因为eq\r(64)＝8而2的立方等于8故8的立方根是2.B×因为－3的立方是－27－3是27的立方根是错误的.C×因为eq\f(56)的立方是eq\f(125216)所以eq\f(125216)的立方根是eq\f(56).D×因为(－1)2＝1它的立方根是1而不是－1.答案：A2．立方根的性质(1)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.(2)开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方．如同开平方与平方互为逆运算一样开立方与立方也互为逆运算．【例2】有下列命题：①负数没有立方根；②一个数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身那么这个数必是1和0.其中错误的是()．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④解析：一个正数的立方根是一个正数一个负数的立方根是一个负数0的立方根是0.立方根等于本身的数有01和－1.所以①②④都是错的只有③正确．答案：B辨误区10－1的立方根深入理解概念特别地要关注10－1的立方根的情况．3．立方根的应用立方根在日常生活中应用很广泛如求物体的体积等．【例3】某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm、80cm和40cm求原来立方体钢锭的边长为多少？分析：原来立方体钢锭体积＝在炉中熔化后浇铸成的长方体钢锭的体积．解：设立方体的边长为xcm则27x3＝160×80×40.解得x＝eq\f(803).答：原来立方体钢锭的边长为eq\f(803)cm.点评：本题是一个等积变形问题利用体积不变列方程即可．4．立方根的化简公式eq\r(3－a)＝－eq\r(3a)；eq\r(3a3)＝a；(eq\r(3a))3＝a.如果x3＝a那么x就是a的立方根即x＝eq\r(3a)所以x3＝(eq\r(3a))3＝a.同样根据定义a3是a的三次方所以a3的立方根就是a即eq\r(3a3)＝a.设x3＝a则(－x)3＝－x3＝－a.根据立方根的定义可知x＝eq\r(3a)－x＝eq\r(3－a).eq\r(3－a)＝－eq\r(3a).要深入理解立方根的性质必须掌握以上性质公式．【例4】化简：(1)eq\r(3－64)；(2)eq\r(30.0001