中考数学压轴题专项训练 四边形的综合-人教版初中九年级全册数学试题.doc

2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合
1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．
（1）求证：DG＝BC；
（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．
（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，
∵E是DC的中点，即DE＝CE，
∴△DEG≌△CEB（AAS），
∴DG＝BC．

（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．
理由：由（1）知DG＝BC，
∵AB＝AD+BC，AF＝AD，
∴BF＝BC＝DG，
∴AB＝AG，
∵∠BAG＝90°，
∴∠AFD＝∠ABG＝45°，
∴FD∥BG．

（3）解：结论：FH＝HD．
理由：由（1）知GE＝BG，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，
∵FD∥BG，
∴AE⊥FD，
∵△AFD为等腰直角三角形，
∴FH＝HD．

2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．

（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB，
∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，
∴DN＝EN，ON＝BE，设DE＝EB＝x，
在Rt△ADE中，则有x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴ON＝．

3．（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．
（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．
①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；
②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．

（1）证明：如图1中，延长BH到M，使得HM＝FA，连接EM．

∵∠F+∠EHG＝180°，∠EHG+∠EHM＝180°，
∴∠F＝∠EHM，
∵AE＝HE，FA＝HM，
∴△EFA≌△EHM（SAS），
∴EA＝EM，∠FEA＝∠HEM，
∵∠EAB＝∠FEH，
∴∠FEA+∠BEH＝∠HEM+∠BEH＝∠BEM＝∠FEH，
∴∠AEB＝∠BEM，
∵BE＝BE，EA＝EM，
∴△AEB≌△MEB（SAS），
∴AB＝BM，
∵BM＝BH+HM＝BH+AF，
∴AB＝AF+BH．

（2）解：①如图2中，结论：NH＝FN．

理由：∵NE平分∠FEH，
∴∠FEN＝∠HEN，
∵EF＝EH，EN＝EN，
∴△ENF≌△ENH（SAS），
∴NH＝FN．

②∵△ENF≌△ENH，
∴∠ENF＝∠ENH，
∵∠ENM＝α，
∴∠ENF＝∠ENH＝180°﹣α，
∴∠MNH＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，
∵∠FGH＝180°﹣2α，
∴∠MNH＝∠FGH，
∵∠MNH+∠FNH＝180°，
∴∠FGH+∠FNH＝180°，
∴F，G，H，N四点共圆，
∵NH＝NF，
∴＝，
∴∠NGH＝∠NGF＝∠FGH＝90°﹣α．

4．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．

（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；
（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．
①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；
②求AM、MN的长；
（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．
解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，
∴△ANM∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝．

（2）①如图2中，

∵NA′∥AC，
∴∠AMN＝∠NMA′，
由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，
∴∠MNA′＝∠A′MN，
∴A′N＝A′M，
∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，
∴四边形AMA′N是平行四边形，
∵MA＝MA′，
∴四边形AMA′N是菱形．

②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，
∵MA′∥