中考数学压轴题专项训练 二次函数的综合-人教版初中九年级全册数学试题.doc

2020年数学中考压轴题专项训练：二次函数的综合1．如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．解：（1）∵图象经过原点，∴c＝0，∵顶点为P（2，﹣4）∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵∠APO＝90°，∴AP⊥PO，∵A（m，m2﹣4m），∴m﹣2＝，∴m＝，∴A（，﹣）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），∴CD∥OB，∵CD＝4，OB＝4，∴四边形OBCD是平行四边形；②∵四边形OBCD是平行四边形，n＜0，∴12＝4×（﹣n），∴n＝﹣3，∴A（1，﹣3）或A（3，3）．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+kx+c的图象经过点C（0，1），当x＝2时，函数有最小值．（1）求抛物线的解析式；（2）直线l⊥y轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l交于点A．在x轴上有一点B，且AB＝，试在直线l上求异于点A的一点Q，使点Q在△ABC的外接圆上；（3）点P（a，b）为抛物线上一动点，点M为坐标系中一定点，若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长，求定点M的坐标．解：（1）∵图象经过点C（0，1），∴c＝1，∵对称轴x＝2，∴k＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），∵AB＝，∴（t﹣2）2+1＝2，∴t＝1或t＝3，∴B（1，0）或B（3，0），∵B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，∴B（3，0），∴AC＝2，BC＝，∴∠BAC＝90°，∴△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，∴x＝1或x＝2（舍去），∴Q（1，﹣1）；（3）设顶点M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点，∴b＝a2﹣a+1，∵P到直线l的距离等于PM，∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，∴+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，∵a为任意值上述等式均成立，∴，∴，此时m2+n2﹣2n﹣3＝0，∴定点M（2，1）．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知BC＝2，tan∠OBC＝．（1）求拋物线的解析式；（2）如图2，若点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，作PE⊥BC于点E，当点P的横坐标为2时，求△PDE的面积；（3）若点M为抛物线上的一个动点，以点M为圆心，为半径作⊙M，当⊙M在运动过程中与直线BC相切时，求点M的坐标（请直接写出答案）．解：（1）∵BC＝2，tan∠OBC＝，∴OB＝4，OC＝2，∴点B为（4，0），点C为（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中，∴c＝2，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）当x＝2时，y＝3，∴P（2，3），∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∵PD平行于y轴，∴D（2，1），∴PD＝2，∵PD平行于y轴，∴∠PDE＝∠OCB，∵PE⊥BC，∴∠PED＝∠COB＝90°，∴△PDE∽△BCO，∴△PDE与△BCO的面积之比是对应边PD与BC的平方，∵△BCO的面积为4，∴△PED的面积是4×＝；（3）过点M作MG⊥BC于点G，过点M作MH∥AB于点H，∴△MGH∽△COB，∴＝，∵⊙M与直线BC相切，∴MG＝，∴MH＝5，设点M（x，﹣x2+x+2），如图1，设H（x+5，﹣x2+x+2）代入y＝﹣x+2，∴x＝﹣1或x＝5，∴M（﹣1，0）或M（5，﹣3）；如图2，点H（x﹣5，x2+x+2）代入y＝﹣x+2，∴方程无解，综上所述：M（﹣1，0）或M（5，﹣3）．4．如图，抛物线y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB，点D为线段OB上一动点（不与点B重合），过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH