中考数学压轴题专项训练 反比例函数的综合-人教版初中九年级全册数学试题.doc

2020年数学中考压轴题专项训练：反比例函数的综合
1．已知一次函数y＝kx﹣（2k+1）的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝﹣的图象分别交于C、D两点．

（1）如图1，当k＝1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；
（2）如图2，当k＝1时，在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，求k的值．
解：（1）当k＝1，则一次函数解析式为：y＝x﹣3，反比例函数解析式为：y＝﹣，
∵点P在线段AB上
∴设点P（a，a﹣3），a＞0，a﹣3＜0，
∴PN＝a，PM＝3﹣a，
∵矩形OMPN的面积为2，
∴a×（3﹣a）＝2，
∴a＝1或2，
∴点P（1，﹣2）或（2，﹣1）
（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，
∴点A（3，0），点B（0，﹣3）
∴OA＝3＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝3，
∵x﹣3＝﹣
∴x＝1或2，
∴点C（1，﹣2），点D（2，﹣1）
∴BC＝＝，
设点E（x，0），
∵以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，且∠CBO＝∠BAE＝45°，
∴，或，
∴，或＝，
∴x＝1，或x＝﹣6，
∴点E（1，0）或（﹣6，0）
（3）∵﹣＝kx﹣（2k+1），
∴x＝1，x＝，
∴两个函数图象的交点横坐标分别为1，，
∵某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，
∴1＝，或5＝
∴k＝

2．如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，与x轴交于C点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？
（3）点P是y＝（x＞0）图象上的一个动点，作PQ⊥x轴于Q点，连接PC，当S△CPQ＝S△CAO时，求点P的坐标．

解：（1）把A（1，4）代入y＝（x＞0），得m＝1×4＝4，
∴反比例函数为y＝；
把A（1，4）和B（4，1）代入y＝kx+b得，
解得：，
∴一次函数为y＝﹣x+5．
（2）根据图象得：当1＜x＜4时，一次函数值大于反比例函数值；
（3）设P（m，），
由一次函数y＝﹣x+5可知C（5，0），
∴S△CAO＝＝10，
∵S△CPQ＝S△CAO，
∴S△CPQ＝5，
∴|5﹣m|•＝5，
解得m＝或m＝﹣（舍去），
∴P（，）．

3．如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线y＝x2相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+8＝0．
（1）求b的值．
（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数y＝的图象上．

（1）解：∵直线y＝kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，
∴D（0，b），C（﹣，0）
∴由题意得OD＝b，OC＝﹣，
∴S＝
∴k•（）+8＝0，
∴b＝4（b＞0）；
（2）证明：∵，
∴，
∴x1•x2＝﹣16
∴，
∴点（y1，y2）在反比例函数y＝的图象上．
4．如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．
（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；
（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．

解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，
∴AB＝n，OB＝m，
又∵△AOB的面积是3，
∴mn＝3，
∴mn＝6，
∵点A在双曲线y＝上，
∴k＝mn＝6；
（2）如图，延长DC交x轴于E，
由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，
∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABE＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠DEB＝90°，
∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，
∴C（m+n，n﹣m），
∵点A，C都在双曲线上，
∴mn＝（m+n）（n﹣m），
即m2+mn﹣n2＝0，
方程两边同时除以n2，得
+﹣1＝0，
解得＝，
∵n＞m＞0，
∴＝．

5．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和实数k（k＞0），给出如下定义：当ka+b＞0时，将以点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P的k倍相关圆．
例如，在如图1中，点P（1，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆．

（1）在点P1（2，1），P2（1，﹣3）中，存在1倍相关圆的点是P1，该点的1