分数阶偏微分方程的基于二阶时间逼近格式的有限元方法的任务书.docx

分数阶偏微分方程的基于二阶时间逼近格式的有限元方法的任务书
任务书
一、研究背景和意义
随着科学技术的发展，分数阶偏微分方程逐渐成为研究的热点问题之一。与传统的整数阶偏微分方程不同，分数阶偏微分方程的导数是非整数阶的，它能很好地描述一些复杂现象，如非局部扩散、记忆效应等。因此，研究分数阶偏微分方程的数值解法具有重要意义。
本次研究的重点是探究基于二阶时间逼近格式的有限元方法在求解分数阶偏微分方程中的应用，并且要研究该方法的收敛性及其数值结果的误差估计。通过这项研究，可以更深入地理解分数阶偏微分方程的特点，增强我们对分数阶偏微分方程的认识，为后续相关研究提供理论和实验依据。
二、研究内容
1.理论分析：对基于二阶时间逼近格式的有限元方法进行理论分析，对其收敛性进行证明，并给出数值结果的误差估计。
2.数值计算：应用基于二阶时间逼近格式的有限元方法求解分数阶偏微分方程，并对数值结果进行分析和比较。首先，通过数值实验验证方法的正确性和稳定性，并对方法的相关参数进行选择和优化，以提高数值计算精度和效率；其次，为了验证该方法的实际应用价值，对一些经典的分数阶偏微分方程进行数值求解和比较。
三、研究方法和步骤
1.理论分析：首先，深入学习分数阶偏微分方程及其有限元方法相关理论，包括微分和积分算子的定义，分数阶导数的定义与性质等；其次，对基于二阶时间逼近格式的有限元方法进行分析，给出收敛性证明和误差估计；最后，对理论结果进行数学表达式推导和证明，以检验理论正确性。
2.数值计算：首先，根据具体的求解问题，编写基于二阶时间逼近格式的有限元方法的算法代码，建立相应的数学模型，通过数值实验验证算法的稳定性和正确性。其次，对算法进行性能测试和优化，测试不同算法的计算效率和精度，优化相关参数以提高数值计算精度和效率；最后，将算法应用于一些经典的分数阶偏微分方程求解，分析数值结果，并与其他方法进行对比。
四、进度安排
第1-2个月：深入学习分数阶偏微分方程及其有限元方法相关理论，编写基于二阶时间逼近格式的有限元方法的算法代码，建立相应的数学模型。
第3-4个月：对基于二阶时间逼近格式的有限元方法进行分析，给出收敛性证明和误差估计。
第5-6个月：对算法进行性能测试和优化，测试不同算法的计算效率和精度，优化相关参数以提高数值计算精度和效率。
第7-8个月：将算法应用于一些经典的分数阶偏微分方程求解，分析数值结果，并与其他方法进行对比。
第9-10个月：总结研究成果，撰写论文；准备并参加相关学术交流会议。
五、预期成果
1.对基于二阶时间逼近格式的有限元方法进行理论研究，给出收敛性证明和误差估计。
2.编写基于二阶时间逼近格式的有限元方法的算法代码，并将其应用于一些经典的分数阶偏微分方程求解，分析数值结果，并与其他方法进行对比。
3.在数值计算方面取得理论和实验方面的进展，提高对分数阶偏微分方程的认识和理解。
4.产生科研论文和研究报告，参加相关国内外学术交流活动，增强学术交流和合作。