分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究的任务书.docx

分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究的任务书
1.研究背景和意义
分数阶偏微分方程（FractionalPartialDifferentialEquations，简称FPDEs）是一类重要的数学模型，它在数学领域和实际应用中具有广泛的应用价值。与常微分方程或整数阶偏微分方程相比，FPDE具有更广泛的应用范围和更高的适应性，因此在多个领域（如物理学、化学、材料科学、工程学等）中得到了广泛的应用。
由于FPDE的非局部性、非线性和时变性，传统的数值方法在处理FPDEs时存在一些困难，这些困难包括收敛速度慢、精度难以保证、计算效率低、数值稳定性差等。因此，针对FPDE的高效、准确的数值方法一直是科学家们关注的研究方向之一。
有限元方法（FiniteElementMethods，简称FEM）是一种常用的数值方法，在微分方程数值解的研究中有着重要的地位。FEM以其灵活性和通用性而被广泛应用于不同领域的问题中。然而，在处理FPDE的FEM中，所有的问题在时间和空间的分裂中都将面临一些问题，并且不同的问题需要不同的分裂和积分方式。此外，在FPDE的FEM中，分数阶导数需要进行显式和隐式处理，因此需要开发特殊的技巧和算法来解决这些问题。
因此，本研究将通过对不同FPDE-FEM的研究，探索解决FPDE数值解决方案的方法和技巧，为实际应用提供更准确、高效和可靠的解决方案。
2.研究任务
本研究将重点研究FPDE-FEM的不同解决方案。具体来说，研究任务包括以下方面：
（1）研究FPDE-FEM的数值离散方法。对不用类型的FPDE，采用不同的离散方式，使用FEM对FPDE进行离散，探究其特点、优劣、适用范围等方面，总结FPDE-FEM的适用范围和局限性。
（2）研究分数阶微积分和差分的数值方案。对于FPDE中的分数阶导数算子，采用显式和隐式两种数值方法进行处理，探讨不同分数阶导数算子数值方法的优缺点。
（3）研究FPDE-FEM的收敛性和数值稳定性。通过分析FPDE-FEM的误差估计和稳定性分析，提出相应的数值方法改进，提高FPDE-FEM的精度和稳定性。
（4）研究FPDE-FEM在实际问题中的应用。以具有代表性的实际问题为例，比如高维流体、材料动力学等，使用FPDE-FEM求解，与其他数值解决方案进行比较，验证其可行性和可靠性。
3.研究方法和进展
本研究将采用理论分析、数值模拟、编程实现以及实际问题求解等多种研究方法，具体进展如下：
（1）通过分析不同FPDE-FEM方案的数值离散方法，总结各种方法的数学基础和特点。
（2）通过对分数阶微积分和差分的数值方案的研究，比较不同的数值方法的特点。
（3）通过数值测试，探讨不同FPDE-FEM的收敛性和稳定性，并提出相应的数值方法改进。
（4）运用FPDE-FEM的数值解决方案，解决代表性的实际问题，并与其他数值解决方案进行比较，以验证其可行性和可靠性。
4.研究成果
（1）针对FPDE-FEM的数值离散方法的不同方案的研究，总结了各种方法的数学基础和特点，并总结FPDE-FEM的适用范围和局限性。
（2）通过对分数阶微积分和差分的数值方案的比较研究，提出了分数阶导数逼近的数值方法，以及分数阶微分方程的离散方法。
（3）通过数值测试，总结了FPDE-FEM的不同收敛性和稳定性，并提出相应的数值方法改进，提高FPDE-FEM的精度和稳定性。
（4）在代表性的实际问题中，运用FPDE-FEM的数值解决方案，并与其他数值解决方案进行比较，以验证其可行性和可靠性。