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几类时间分数阶偏微分方程的数值算法研究的任务书
一、研究背景
时间分数阶偏微分方程（TFPDE）是指具有分数阶时间导数的偏微分方程，其在实际问题中具有广泛的应用，例如流体力学、物理、生物学等领域。正因为其在实际问题的应用中具有广泛性及实用性，因此对于TFPDE数值算法的研究具有重要意义。
TFPDE的求解方法主要有两种：分数阶差分法和分数阶有限元法。其中，分数阶差分法是一种传统方法，其主要是通过将分数阶微积分转化为整数阶差分来求解，但其精度受到网格选取的影响较大。而分数阶有限元法相对于分数阶差分法来说是一种新的方法，它可以根据所选有限元对问题进行逐步分解，从而获得局部解，并最终获得整体解。
为了完善TFPDE数值算法的研究，并寻求更优秀且更实用的处理方法，本课题将对于几种TFPDE数值算法进行深入研究。
二、研究目的
本课题的主要目的是探索TFPDE数值算法中分数阶差分法、分数阶有限元法与其它方法的结合，从而寻求更高效、更精确的数值算法。具体包括以下几个方面的任务：
1.对分数阶差分法、分数阶有限元法及其它方法进行研究，理解其算法原理和数学基础；
2.分析几种TFPDE数值算法的优缺点，并探究它们的相互联系；
3.针对TFPDE数值算法中存在的问题进行进一步改进，并对其效果进行验证；
4.设计合理的数值算例，并将不同算法解的结果进行比较分析，以检验改进的数值算法是否具有优越性；
5.将研究结果形成实用的理论和方法，让其具有一定的推广和实用价值。
三、研究内容
（一）分数阶差分法研究
1.对分数阶导数的定义及其在数值算法中的作用进行研究；
2.探究分数阶差分方法在TFPDE数值算法中的应用及其数值精度的影响因素；
3.对现有的分数阶差分算法进行改进，提高其精度及适用性；
4.基于改进的分数阶差分算法，在几个网格上进行数值模拟并比较其结果的精度。
（二）分数阶有限元法研究
1.对分数阶微积分、分数阶导数和常微分方程的关系进行研究；
2.探究分数阶有限元法在TFPDE数值算法中的应用及其数值精度的影响因素；
3.对现有的分数阶有限元算法进行改进，提高其精度及适用性；
4.基于改进的分数阶有限元算法，在不同网格上进行数值模拟并验证算法的效果。
（三）其它TFPDE数值算法的研究
1.探究其它TFPDE数值算法在实际问题中的适用性及其局限性；
2.分析其它TFPDE数值算法与分数阶差分法、分数阶有限元法的异同；
3.对其它TFPDE数值算法进行改进、完善，使其更加适用于实际问题；
4.通过数值模拟，比较改进后的其它TFPDE数值算法与分数阶差分法、分数阶有限元法的差异和优劣。
四、研究意义
本课题的研究可以为TFPDE数值算法的研究提供新的思路和方法。主要具有以下几个方面的意义：
1.对分数阶差分法、分数阶有限元法及其它方法进行深入研究，提高了对于这些方法的理解和掌握程度，为新颖的算法设计和研究提供了基础；
2.通过改进及完善数值算法，提高了算法的精度和适用性，在实际问题中拓宽算法的应用领域；
3.让研究者更好地掌握数值模拟技术和算法设计，为其今后的研究工作打下更雄厚的基础。同时，也可以为学术界和工业界提供新的研究成果和实用的理论方法。