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亚纯函数的正规族及唯一性的几个定理的中期报告
亚纯函数是指在复平面上除了可能有有限个孤立奇点外，其余部分都是全纯函数的函数。正规族是指在一定条件下，任何无限多个函数组成的函数族中至少存在一个收敛于全纯函数。
亚纯函数的正规族可以由Weierstrass逼近定理得到。定理表明，对于一个亚纯函数$f(z)$，当且仅当其奇点都是孤立的、解析部分有界，且在无穷远处有极限时，$f(z)$的一些子族是正规的。另一个有用的定理是Montel定理，它说明在满足一定条件的情况下，一族亚纯函数中正规函数族的存在性是等价于一致有界性和相对紧性的存在性。
亚纯函数正规族的唯一性也有相关定理。一个重要的定理是Riemann映射定理，它表明，对于任何一个单连通域$D$，都存在唯一的双全纯映射$f(z)$把单位圆盘映射成$D$。因此，对于一个单连通域$D$上的一族亚纯函数$f_n(z)$，如果它们的一致有界性和相对紧性成立，并且它们在$D$中的每个点处都收敛于$f(z)$，则$f(z)$是$D$上的全纯函数并且$f_n(z)$极限唯一。这个定理表明，对于连通且没有孔的域，该域上的正规族是唯一的。
总之，在亚纯函数的研究中，正规族的概念、性质以及定理都是十分基础和重要的内容。通过研究正规族，我们可以对亚纯函数的解析特性、唯一性以及在复杂环境中的稳定性有更深入的理解。