单元教学设计与核心素养培养——以“平面向量”单元教学为例.pdf

２０２４年３月上半月教学研究

单元教学设计与核心素养培养∗

———以“平面向量”单元教学为例

◉江苏省宿迁中学倪文林

１问题提出平面直角坐标系的构建加以数学运算,合理引入平面
向量的坐标,利用题设条件确定对应坐标的关系,利
在«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»中,对应用基本不等式的放缩、三角函数的应用等来确定向量
“课程基本理念”部分第一次创新性地提出“数学学科和的模的最值．
核心素养”这一重要理念．对于数学学科核心素养的培２．２从逻辑推理中归纳总结加以直观想象
养与养成,一直渗透于数学教学与学习过程中,成为借助平面向量的相关数据信息,特别是向量的位
数学活动中的一种常态．置关系(平行或垂直等),结合题设条件通过合理的逻
数学学科核心素养的培养与养成,对于教学与学辑推理,构建与之对应的平面几何图形加以直观想
习有一定的指导与目标意识,那么在高中数学教学单象,从而利用图形直观分析解决平面向量问题．
元中如何加以实施,能够更加有效培养并提升数学核例２(２０２３年上海交大强基计划数学试卷ခp５)
心素养,促进学生的全方位发展呢?本文中以“平面１
已知平面向量a,b,c满足|a|＝|b|＝|c|＝１,aခpb＝,
向量”单元教学为例,结合实例就数学学科核心素养２
的培养加以阐述,以期抛砖引玉．则(a＋b)ခp(２b－c)的最小值为()．
２A．３＋３B．３－３C．２＋２D．２－２
问题解决→→→
解析:设OA＝a,OB＝b,OC＝c．
２．１从数学问题中结合抽象加以数学运算１
由|a|＝|b|＝１,aခpb＝,可得aခpb＝|a||b|ခp
借助平面向量的概念与公式等相关知识,合理构２
建对应的关系式等,通过数学变形与转化,合理利用１π
cos∠AOB＝cos∠AOB＝,则∠AOB＝．
数学运算来转化与应用．２３
〔→→
例１福建省泉州市２０２３届高中毕业班质量监如图２,设a＋b＝OA＋OB＝
２０２３３８〕已知平面向量a,→
测(三)数学试卷(年月)ခpOD,C是OD与半径为１的圆
b,c|a|＝１,bခpc＝０,aခpb＝１,aခpc＝－１,则０
满足O的交点,则知四边形OADB是
|b＋c|)．
的最小值为(平行四边形．
A．１B．２C．２D．４图２
而|OD|２＝(a＋b)２＝a２＋
解析:在平面直角坐标系１
２aခpb＋b２＝１＋２×＋１＝３,可得|OD|＝３．
xOy中,设向量a＝(１,０),b＝２
(x,y),c＝(x,y),如图１所示．延长OB至点B′,使得|OB′|＝２|OB|＝２,连接
１１２２
因为aခpb＝１,aခpc＝－１,π
BD,B′D,则∠B′OD＝∠BDO＝．
bခpc＝０,所以x＝１,x＝－１,６
１２
xx＋yy＝０,则yy＝１．π
１２１２１２图１所以△BB′D为正三角形,且∠ODB′＝．
由基本不等式,可得|b＋c|＝２
→→→
,
(x＋x)２＋(y＋y)２＝y２＋y２＋２≥２yy＋２＝２,由于２b－c＝CB′,根据图形直观利用CB′在OD
１２１２１２１２
当且仅当y＝y＝１或y＝y＝－１时,等号成立．方向上的投影,可知当点C运动到点C时,(a＋b)ခp
１２１２０
所以|b＋c|的最小值为２．(２b－c)的最小值为
故选择:C．|OD|×|CD|＝３×(３－１)＝３－３．
０
点评:本题根据平面向量“数”的结构属性,通过故选择:B．

∗课题信息:江苏省教育科学“十四五”规划课题“观念建构视角下指向核心素养的高中数学单元教学设计研究”,立项

编号为D/２０２１/０２/５１３．

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教学研究
２０２４年３月上半月

点评:本题合理通过平面向量“形”的结构特征,的直角三角形来构造无理数２,
借助向量投影的定义加以直观形象处理是解决平面
３,５,ခºခº．已知AB＝BC＝
向量数量积的最值中比较特殊的一种技巧方法．这里
CD＝１,AB⊥BC,AC⊥CD,AC与
借助局部与整体的平面向量的投影思维来处理,思维→→→
BD交于点O,若DO＝λAB＋μAC,
视角不同,解题思维一致,殊途同归．局部视角需要必
则λ＋μ＝()．
要的变形与转化,整体视角的要求使得图形更加复
A．２－１B．１－２图４
杂,各有利弊．
C．２＋１D．－２－１
２．３从数学思维中合理应用加以逻辑推理
解析:在△BCD中,由BC＝CD＝１,∠DCB＝
类似于特殊值思维等,都是平面向量及其应用中
９０°＋４５°＝１３５°,可得∠BDC＝２２．５°．
最为常用的一些基本技巧方法．特别对于一些小题(选
２tan２２．５°
择题或填空题),抓住问题的本质,通过合理巧妙的逻由tan４５°＝＝１,解得tan２２．５°＝
１－tan２２２．５°
辑推理,对于解决平面向量及其相关的应用问题有很
２－１(负值舍去)．OC＝