数值分析12积分方程数值解.ppt

积分方程数值解
初等变分原理
最速下降法
共轭梯度法——积分方程数值解——得三阶线性方程组设x,y∈Rn,记(x,y)=xTy定理4.10设A=(aij)n×n为实对称正定矩阵,b,x∈Rn,则x使二次函数设u使f(x)取极小值.任取非零x∈Rn,任意t∈R——最速下降法——方向l:l=[v1,v2,···,vn]T,g(t)=f(x+tl)分别取l=e1,e2,···,en(单位矩阵I的列向量),解得,步长t0=(r0,r0)/(Ar0,r0)解对称正定方程组Ax=b的最速下降算法:——共轭梯度法——定理4.12A是n阶对称正定矩阵,p1,p2,···,pn是关于A共轭的向量组,任取x(0)∈Rn,计算第二步:计算tk=(pk,rk-1)/(Apk,pk)
x(k)=x(k-1)+tkpk;定理4.13设Ax=b中矩阵A是n阶对称正定矩阵,则简单共轭梯度算法中rk,pk满足bkj=(Apj,rk)/(Apj,pj),(j=1,···,k)
pk+1=rk–(bk1p1+···+bkkpk)例4.4A=[430;34-1;0-13];
b=[24;30;-24];x=[0;0;0];
k=0;r=b-A*x;er=norm(r,1);
p=r;
whileer>0.0005
t=(p'*r)/(p'*A*p);
x=x+t*p;
ifk==3,break,end
r=b-A*x;er=norm(r,1);
bk=(r'*A*p)/(p'*A*p);
p=r-bk*p;k=k+1;
end
x