数值分析常微分方程数值解.docx

许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题。如物体运动、电路振荡、化学反映及生物群体的变化等。常微分方程可分为线性、非线性、高阶方程与方程组等类；线性方程包含于非线性类中，高阶方程可化为一阶方程组。若方程组中的所有未知量视作一个向量，则方程组可写成向量形式的单个方程。因此研究一阶微分方程的初值问题
(9-1)
的数值解法具有典型性。
常微分方程的解能用初等函数、特殊函数或它们的级数与积分表达的很少。用解析方法只能求出线性常系数等特殊类型的方程的解。对非线性方程来说，解析方法一般是无能为力的，即使某些解具有解析表达式，这个表达式也可能非常复杂而不便计算。因此研究微分方程的数值解法是非常必要的。
只有保证问题(9-1)的解存在唯一的前提下，研究其数值解法或者说寻求其数值解才有意义。由常微分方程的理论知，如果(9-1)中的满足条件
（1）在区域上连续；
（2）在上关于满足Lipschitz条件，即存在常数，使得

则初值问题(9-1)在区间上存在惟一的连续解。在下面的讨论中，我们总假定方程满足以上两个条件。
所谓数值解法，就是求问题(9-1)的解在若干点

处的近似值的方法。称为问题(9-1)的数值解，称为由到的步长。今后如无特别说明，我们总假定步长为常量。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
(1)用差商近似导数
在问题(9-1)中，若用向前差商代替，则得

用其近似值代替，所得结果作为的近似值，记为，则有

这样，问题(9-1)的近似解可通过求解下述问题
(9-2)
得到，按式(9-2)由初值经过步迭代，可逐次算出。此方程称为差分方程。
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
(2)用数值积分法
将问题(9-1)中的微分方程在区间上两边积分，可得
(9-3)
用,分别代替,，若对右端积分采用取左端点的矩形公式，即

同样可得出显式公式(9-2)。
类似地，对右端积分采用其它数值积分方法，又可得到不同的计算公式。
(3)用Taylor多项式近似。把在点处Taylor展开，取一次多项式近似，则得

设，略去余项，并以代替，便得

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。其中Taylor展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断误差。
上面我们给出了求解初值问题(9-1)的一种最简单的数值公式(9-2)。虽然它的精度比较低，实践中很少采用，但它的导出过程能较清楚地说明构造数值解公式的基本思想，且几何意义明确，因此它在理论上仍占有一定的地位。
1简单的数值方法和基本概念
1.1Euler法与向后Euler法
一、Euler法
Euler方法就是用差分方程初值问题
(9-4)
的解来近似微分方程初值问题(9-1)的解，即由公式(9-4)依次算出的近似值。
从几何上看，微分方程在平面上确定了一个向量场：点处的方向斜率为。问题(9-1)的解代表一条过点的曲线，称为积分曲线，且此曲线上每点的切向都与向量场在这点的方向一致。从点出发，以为斜率作一直线段，与直线交于点，显然有，再从出发，以为斜率作直线段推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线。因此Euler方法又称为Euler折线法。
二、向后Euler法
在微分方程离散化时，用向后差商代替导数，即，则得到如下差分方程
(9-5)
用这组公式求问题(9-1)的数值解称为向后Euler法。
向后Euler法与Euler法形式上相似，但实际计算时却复杂得多。Euler法计算的公式中不含有，这样的公式称为显式公式；向后Euler法计算的公式中含有，称为隐式公式。显式公式与隐式公式各有特点。显式公式的优点是使用方便，计算简单，效率高。其缺点是计算精度低，稳定性差；隐式公式正好与它相反，它具有计算精度高，稳定性好等优点，但求解过程很复杂，一般采用迭代法。为了结合各自的优点，通常将显式公式与隐式公式配合使用，由显式公式提供迭代初值，再经隐式公式迭代校正。
上面隐式公式中，在求解时，为已知，是方程的根。一般说来，这是一个非线性方程，因此我们通过构造简单迭代法来求解。迭代格式为

由于满足Lipschitz条件，所以

由此可知，只要，迭代法就收敛到解。
1.2梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(9-3)中右端积分，即

并用代替，则得计算公式
(9-6)
这就是求解初值问题(9-1)的梯形公式。
梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为

由于函数关于满足Lipschitz条件，所以

其中为Lipschitz常数。因此，当时，迭代法就收敛到解。
1.3局部截断误差与方法的精度
为了刻画近似解的准确程度，引入局部截断误差与方法精度的概念。