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非参数统计分析

第一章引言

§1.1关于非参数统计

在初等统计学中，最基本的概念是总体，样本，随机变量，分布，估计和假设检验等．其很大一部分内容是和正态理论相关的。在那里，总体的分布形式或分布族往往是给定的或者是假定了的，所不知道的仅仅是一些参数的值或他们的范围。于是，人们的任务就是对一些参数，比如均值和方差(或标准差)，进行点估计或区间估计，或者是对某些参数值进行各种检验，比如检验正态分布的均值是否相等或等于零等等．最常见的检验为对正态总体的t—检验，F—检验，和最大似然比检验等．

然而，在实际生活中，那种对总体的分布的假定并不是能随便做出的。有时，数据并不是来自所假定分布的总体；或者，数据根本不是来自一个总体；还有可能，数据因为种种原因被严重污染。这样，在假定总体分布的情况下进行推断的做法就可能产生错误的结论。于是，人们希望在不假定总体分布的情况下，尽量从数据本身来获得所需要的信息。这就是非参数统计的宗旨。因为非参数统计方法不利用关于总体分布的知识，所以，就是在对于总体分布的任何知识都没有的情况下，它也能很容易而又很可靠地获得结论．这时，非参数方法往往优于参数方法。然而，在总体的分布族已知的情况下，不需要任何先验知识就成为它的缺点；因为它没有充分利用已知的关于总体分布的信息，所做出的结论就不如参数方法得到的精确．

在不知总体分布的情况下如何利用数据所包含的信息呢?一组数据的最基本的信息就是次序．如果可以把数据点按大小次序排队，每一个具体数目都有它的在整个数据中(从最小的数起)的位置或次序，称为该数据的秩(rank)．数据有多少个观察值，就有多少个秩．在一定的假定下，这些秩和它们的统计量的分布是求得出来的，而且和原来的总体分布无关．这样就可以进行所需要的统计推断。

注意，非参数统计的名字中的“非参数(nonparametric)”意味着其方法不涉及描述总体分布的有关参数；它被称为和分布无关(distribution—free)，是因为其推断方法和总体分布无关；不应理解为与所有分布(例如有关秩的分布)无关．

§1.2顺序统计量，秩和线性秩统计量

一、顺序统计量

因为非参数方法通常并不假定总体分布。因此，观测值的顺序及性质则作为研究的对象。

1、顺序统计量：对于样本X1，X2，X3，…，Xn，如果按照升幂排列，得到

称为第个顺序统计量。

2、基于顺序统计量的统计量

中位数
极差
3、顺序统计量分布函数

设总体的分布函数F(X)，则第r个顺序统计量的分布函数为

（4）顺序统计量密度函数

二、秩统计量

1、秩统计量

设X1，X2，X3，…，Xn来自总体的样本，记为样本点的秩，即
=
其中

是固定的。它等于小于或等于的的个数。

例如：

原始观测值
5.6
1.4
2.7
5.2
2.6
4.8
2.3

秩
7
1
4
6
3
5
2

2、秩统计量的分布和数字特征

●的联合分布为:
●的概率分布为：
●的数学期望：
●的方差：
3、线性符号秩统计量：设为|X1|，|X2|，|X3|，…，|Xn|中的秩，定义为整数1，2，…，n上的非降函数，满足，则称

EMBEDEquation.3
如果X1，X2，X3，…，Xn为独立同分布的连续随机变量，并有关于0的对称分布，则

EMBEDEquation.3＝
EMBEDEquation.3
4、线性秩统计量：

设X1，X2，X3，…，XN为样本，Ri为Xi在X1，X2，X3，…，XN中的秩。又定义和为定义在1，2，…，N上的函数，则称
EMBEDEquation.3
为线性秩统计量。称为记分函数。称为回归常数。
定理记和，则

，。

证因为

所以EMBEDEquation.3

又因为

例设X1，X2，X3，…，XN为样本，对秩和统计量W＝，有，0或1，视或否,有

EMBEDEquation.3

故

5、正态记分线性秩统计量

令EMBEDEquation.3中的，是标准正态分布函数的的反函数。则称为正态记分线性秩统计量。

第二章单样本非参数检验

在有了一个样本之后，很自然地想要知道它所代表的总体的“中心”在哪里．例如，在对人们的收入进行了抽样之后，就自然要涉及“人均收入”和“中间收入”等概念．这就与统计中的对总体的均值(mean)，中位数(median)和众数(mode)等位置参数的推断有关。例如，在知道总体是正态分布时，要检验其均值是否为；一个传统的基于正态理论的典型方法是t检验．它的检验统计量定义为

这里为样本均值，而为样本标准差。t—检验的统计量在零假设下有n—1个自由度的t—分布。检验统计量是用样本标准差s代替了有标准