二重积分的概念与性质.docx

第一节二重积分的概念与性质
教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义;二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;
能正确运用性质进行判断、计算与证明.
重点:二重积分的性质.
难点:运用性质判断与计算.
教学方法:直观教学,讲练结合.
教学过程:
二重积分的概念

1、【定义】:设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域
任意分成个小闭区域，，，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点，作乘积，，并作和
，如果当各小闭区域的直径中的最大值时，这和式的极限存在，且此极限与小区间的分法以及点的取法无关，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记为
，即.
其中：①称为被积函数,②称为被积表达式,③称为积分变量,④称为面积元素,⑤称为积分区域,⑥称为积分和.
2、面积元素
在直角坐标系下用平行于坐标
轴的直线网来划分区域,则面积元
素为
故二重积分可写为.
3、【二重积分存在定理】设是有界闭区域上的连续函数,则存在二重积分.
4、二重积分的几何意义
(1)当被积函数时,二重积分表示以为顶,以为底面的曲顶柱体的体积．
(2)当被积函数时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．
二、二重积分的性质
假设被积函数在有界闭区域上连续.
1．,为常数.
2．.
设为常数则上述两式合并为.
3．(二重积分对区域可加性)
,.
4．,为的面积.
5．(积分不等式)若,则.
推论:.
6．(积分估值定理)设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，则
.
7．(积分中值定理)设函数在闭区域上连续，则在上至少存在一点使得.
8．设区域，且与关于轴对称；
（1）当关于是偶函数时即时，有.
(2)当关于是奇函数时即时，有.
类似有设区域，且与关于轴对称；
当关于是偶函数时即时，有.
(2)当关于是奇函数时即时，有.
三、应用举例
例1比较与
的大小,其中
.
解：如图,由于点在上,过点的切线
为,那么在上有,
所以.
例2(05.4)设,,
,其中,则
(A)(B)(C)(D)
答(A).因为在区域上，,
所以,
从而,
故.
例3设,当()时,.
(a)(b)(c)(d)
答(b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为得选(b).
例4当是由()围成的区域时,.
(a)轴,轴及(b),及,
(c),(d),
答(a,b,c).因为表示积分区域的面积为,故只需考察哪些选项积分区域的面积为.
即可选(a),(b),(c).
例5判断的正负.
解：在区域上有且等号不恒成立，所以且等
号不恒成立，故.
例6估计积分值.
解：.
例7.

用适当符号连接.
解：在上有,在上.
又由，由，
故.
例8设，证明.
证明，由积分的估值性质得.
例9设
（1）若在上有界且可积，则.
（2）若在上连续，则.
（1）证明：设分别为函数在上的最小值与最大值，则
，由积分估值定理知
又所以，
由夹逼定理得.
（2）解：由积分估值定理知在上连续，
所以
.
小结：1.定义为二重积分.
2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.
3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.
课后记：比较大小与证明问题下手较困难.