二重积分的概念与性质.doc

第九章重积分

第一节二重积分的概念与性质

与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.

内容分布图示
★曲顶柱体的体积
★非均匀平面薄片的质量
★二重积分的概念
★二重积分的性质 ★二重积分的中值定理
★例1 ★例2 ★例3
★例4 ★例5
★内容小结 ★课堂练习
★习题9-1
★返回

内容要点：
一、二重积分的概念
引例1求曲顶柱体的体积；引例2求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义
二、二重积分的性质
性质1—性质6
二重积分与定积分有类似的性质.
性质1
性质2如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域和,则

这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.
性质3如果在闭区域D上,为D的面积,则

这个性质的几何意义是:以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.
性质4如果在闭区域D上,有则

特别地,有
性质5设分别是在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则

这个不等式称为二重积分的估值不等式.

例题选讲：
二重积分的性质
例1不作计算，估计的值，其中是椭圆闭区域：
.
例2（讲义例1）估计二重积分的值,其中积分区域为矩形闭区域.
例3判断的符号.
例4积分有怎样的符号,其中
例5（讲义例2）比较积分与的大小，其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).

课堂练习
1.将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处.
2.试用二重积分表示极限